Re: [obm-l] Geometria de doido!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 27, 2002 at 01:37:53PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
> 
> Essa questao de Geometria e "so pra macho",segundo o cara que me propos.Eu
> consegui achar uma soluçao viajada demais mas valida.Vamos ver como esses
> caras se saem:
> 
> Considere um quadrado de diagonal 2^(1/2) decomposto em varios poligonos de
> diametro no maximo 30^(-1).Demonstre que existe um poligono com pelo menos
> seis vizinhos(poligonos vizinhos=contem pelo menos um ponto em comum)

A questão é bem legal mas se entrasse em uma olimpíada
não contaria como geometria... e o diâmetro é muito menor
do que o necessário...

Vou supor que os polígonos são convexos mas o caso geral não é
muito mais difícil.  Podemos supor sem perda de generalidade
que não existem quatro polígonos com um ponto comum
(se existirem perturbe um pouco perto da quadrupla fronteira)
e que polígonos vizinhos sempre têm um lado em comum.

Pegue o polígono P0 que contem o centro do quadrado.
Se ele tem >= 6 vizinhos acabou. Senão ele tem k <= 5
vizinhos P1, ..., Pk em roda. P1 e P2 têm outro vizinho
comum além de P0 (do outro lado); chamemos este vizinho
de P(k+1). Analogamente P(k+i) é vizinho de Pi e P(i+1)
para i < k e P(2k) é vizinho de Pk e P1. A esta altura
P1 já tem 5 vizinhos: P0, P2, Pk, P(k+1) e P(2k)
(a rigor você deve considerar também o caso de P(k+1) e P(2k)
serem *iguais*; este caso fica a cargo do leitor).
Se existir outro vizinho acabou, senão P(k+1) e P(2k)
devem ser vizinhos. Analogamente, para que P2, ..., Pk
tenham <= 5 vizinhos devemos ter P(k+1),...,P(2k)
em roda. A esta altura cada um destes k polígonos
tem 4 vizinhos assim para que nenhum deles ganhe mais
de 1 novo vizinho seria necessário ter um único
polígono dando a volta, que não seria convexo.

Assim, demonstramos que dado um polígono ou ele,
ou um vizinho dele, ou um vizinho de um vizinho dele
tem >= 6 vizinhos. Se o diâmetro dos polígonos é d
estes polígonos todos estão contidos em uma bola de raio 3d.
Assim 1/7 (ao invés de 1/30) já estaria bom.

Tenho outra demonstração, talvez depois eu mande. []s, N.

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