Re: [obm-l] Sequencia de Fibonacci um Enigma

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Nov 28, 2002 at 04:31:23PM -0200, Osvaldo Corrêa wrote:
> Olá lista,
> 
> Sou novo na lista e desculpe se meu assunto é meio offtopic.
> 
> Bem, estou com uma questão do Livro" Teoria elementar dos Números" do 
> autor Edgard de Alencar filho,  a questão é a 23 do capitulo 17.
> Na verdade, tenho um verdadeiro enigma.
> a questão é a seguinte:
> 
> (Fn Fn+3)^2 + (2Fn+1 Fn+2)^2  =  (F2n+3)^2   Para Todo n >= 1

Como

f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) 
f(n)   = f(n+2) - f(n+1) 

temos

f(n+3) f(n) = f(n+2)^2 - f(n+1)^2

Assim

(f(n) f(n+3))^2 + (2 f(n+1) f(n+2))^2 =
(f(n+2)^2 - f(n+1)^2)^2 + (2 f(n+2) f(n+1))^2 =
(f(n+2)^2 + f(n+1)^2)^2

A última igualdade segue expandindo tudo mas também
é a forma usual de construir ternos pitagóricos:

a = u^2 - v^2, b = 2uv, c = u^2 + v^2, a^2 + b^2 = c^2

Falta apenas provar que

f(n+2)^2 + f(n+1)^2 = f(2n+3)

Isto segue da identidade entre matrizes

        (0 1)             ( f(n-1)   f(n)  )
   F =  (   ) ;   F^n  =  (                )
        (1 1)             (  f(n)   f(n+1) )

facilmente demostrável por indução (e muito útil)
considerando o coeficiente (2,1) de F^(n+1) F^(n+2) = F^(2n+3).

[]s, N.
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