Re: [obm-l] alguém sabe?

[Humberto Naves <hnaves@xxxxxxxxx>]

Olá Rui,
  Meu amigo Artur me apresentou esse problema na
semana passada:
  Para x > e^(1/e), temos x=e^(1/e+y), onde y > 0
logo x^x = e^((1/e+y)*e^(1/e+y)) > e^(e^(1/e+y-1)+y)
, pois e^(1/e+y) > 1. E como e^x > 1 + x para todo x,
temos e^(e^(1/e+y-1)+y) > e^(1/e+2y). Por inducao se
prova que:
  x^x^x^...^x > e^(1/e+n*y)
    n vezes

  Logo a sequencia diverge, eh claro. para x =
e^(1/e),
temos: Utilizando a desigualdade e^x <= 1 + (e-1)x,
quando x <=1 temos.
  e^(1/e) <= 1 + (e-1)/e.
  (e^(1/e))^(e^(1/e)) <= e^(1/e*(1+(e-1)/e)) e como:
1/e + (e-1)/(e^2) < 1 temos e^(1/e*(1+(e-1)/e)) <=
1+(e-1)/e + ((e-1)/e)^2. Por inducao concluimos que
x^x^x^...^x <= 1 + (e-1)/e + ((e-1)/e)^2
+...+((e-1)/e))^n <= e, para todo n. Logo x^....
converge e sabemos que converge para e.
  Mandei um e-mail inutil, desculpe!
  Abracos,
  Humberto Silva Naves

 --- Rui Viana <ruilovlist@hotmail.com> escreveu: >
Olá a todos da lista,
> Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte
> problema :
> Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ?
> Bom, a principio x^x^x...=2 => x^2 = 2 => x =
> 2^(1/2)
> Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x =
> 4^(1/4) = 2^(1/2) ???
> Então agente fez um teste e descobriu que
> (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge 
> para 2 e não para 4 (não provamos isso)
> Daí agente decidiu tentar :
> Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n
> tem solução x=n^(1/n), 
> faça f(n) = n^(1/n).
> Eu queria saber para que valor g(n) =
> f(n)^f(n)^f(n)... converge ??
> Parece que pra 0<n<1/e g é uma função concava,
> 1/e<n<e g(n)=n e depois  para 
> n>e g(n) é convexa e converge para algum valor.
> Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre
> g(n) ?
> []'s,
>                     Rui L Viana F
>                     ruilov@mit.edu
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