[obm-l] Teorema da Exponenciacao Infinita

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal !

O Problema da Exponenciacao Infinita proposto pelo Rui :

Seja P um numero natural maior que 1. Definindo
T(0)=P^(1/P)
T(N+1)=[P^(1/P)]^T(N)
T(N) Converge ?  Se sim, para que valor ?

Pode ser generalizado de diversas maneiras ... Para um natural P maior que 
um, facilmente prova-se que :

T(0) > 1
T(N+1) > T(N)
T(N) < P

Esta simples observacao e suficiente para nos assegurar que a sequencia T(N) 
e convergente, pois, por um conhecidissimo teorema de Analise, toda 
sequencia crescente e limitada superiormente e convergente. Mas, converge 
para onde ?

No problema original do Rui a resposta e simples. Para ver isso, considere o 
seguinte :

Como, pela formula de recorrencia, T(1)=[P^(1/P)]^T(0) segue que
T(1)^P= P^T(0), ou, o que da no mesmo, o ponto B=(T(1),T(1)^P) e um ponto do 
grafico de Y=X^P e o ponto A=(T(0),P^T(0)) e um ponto do grafico de Y=P^X. 
Dai concluimos que o segmento AB e um segmento horizontal que liga os 
graficos de Y=X^P e Y=P^X.

Tracando por B uma reta vertical ela ira encontrar o grafico de Y=P^X
( AQUI ESTOU SUPONDO QUE Y=P^X ESTA ACIMA DE Y=X^P. ESTA SUPOSICAO NAO IRA 
ATRAPALHAR NOSSAS CONCLUSOES ) em C=(T(1),P^T(1)). Como, pela formula de 
recorrencia, T(2)^P=P^T(1) segue que existe em Y=X^P um ponto 
D=(T(2),P^T(2)) tal que o segmento CD e horizontal e liga os dois graficos 
ja citados.

Deve ter ficado evidente que estamos construindo entre os graficos de Y=X^P 
e Y=P^X UMA ESCADA ABCDE ... Como estes graficos se encontram AO MENOS em 
X=P e concluimos que :

O LIMITE DA EXPONENCIACAO INFINITA E O PRIMEIRO X > 1 QUE SEJA SOLUCAO DE 
X^P=P^X. No caso so aparente paradoxo percebido pelo Rui, tudo se resolve se 
percebermos que os graficos de Y=4^X e Y=X^4 se encontram em X=2, antes 
porem de X=4. Dai o ponto de convergencia da exponenciacao infinita ser X=2 
e nao X=4.

Evidentemente que o problema realmente interessante esta apenas esbocado... 
Que falar das sequencias ? :

SEQUENCIA 1:
T(0)=3^(1/4)
T(N+1)=[3^(1/4)]^T(N)

SEQUENCIA 2:
T(0)=5^(1/4)
T(N+1)=[5^(1/4)]^T(N)

Elas sao convergentes ? Convergem para onde ?

Abordando o problema analiticamente ele fica dificil, mas considerando sobre 
o angulo que esbocei acima eles ficam faceis. O que e sempre importante e A 
MANEIRA COMO VOCE OLHA nao O QUE VOCE OLHA.

Sem duvida que todo mundo ja percebeu onde eu quero chegar ... ENCURRALANDO 
UMA SEQUENCIA ENTRE OS GRAFICOS DE DUAS FUNCOES, AS CARACTERISTICAS 
GEOMETRICAS DESTAS FUNCOES PODEM NAO SO NOS GARANTIR QUE A SEQUENCIA E 
CONVERGENTE COMO TAMBEM NOS INFORMAR PARA ONDE ELA CONVERGE.

Isto parece se um bom caminho de pesquisa ... Talvez muito bom ... Pois 
voces ja leram em livros de analise ou de calculo avancado algo semelhante ? 
Vamos tentar formular A PERGUNTA, de onde ira derivar um teorema :

Seja X0=K e X0, X1, X2, X3 ... uma sequencia e sejam A(X) e
B(X) funcoes reais continuas tais que A(Xn)=B(Xn-1) para todo N.

1) Quais as condicoes mais gerais que devem satisfazer A(X) e B(X) para que 
X0, X1, X2, X3 ... seja convergente ?
2) Supondo que existam e sejam satisfeitas as condicoes 1), e possivel falar 
alguma coisa sobre o valor do ponto de convergencia da sequencia ?

O esboco de solucao que dei acima para o problema do Rui e inspirador e pode 
suscitar muitas ideias, mas nao e suficiente. O ponto inicial X0=K e muito 
importante.

Alguem se habilita a descobrir, enunciar e prova o teorema mais geral ?

A todos,com os melhores
votos de Paz Profunda,
sou

Paulo Santa Rita
2,1845,150402






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