[obm-l] Re: [obm-l] alguém sabe?

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

Na verdade, é possível provar que 
  {x>0/ x^x^x^x... converge}= [e^(-e), e^(1/e)]
   
-- Mensagem original --

>Olá Rui,
>  Meu amigo Artur me apresentou esse problema na
>semana passada:
>  Para x > e^(1/e), temos x=e^(1/e+y), onde y > 0
>logo x^x = e^((1/e+y)*e^(1/e+y)) > e^(e^(1/e+y-1)+y)
>, pois e^(1/e+y) > 1. E como e^x > 1 + x para todo x,
>temos e^(e^(1/e+y-1)+y) > e^(1/e+2y). Por inducao se
>prova que:
>  x^x^x^...^x > e^(1/e+n*y)
>    n vezes
>
>  Logo a sequencia diverge, eh claro. para x =
>e^(1/e),
>temos: Utilizando a desigualdade e^x <= 1 + (e-1)x,
>quando x <=1 temos.
>  e^(1/e) <= 1 + (e-1)/e.
>  (e^(1/e))^(e^(1/e)) <= e^(1/e*(1+(e-1)/e)) e como:
>1/e + (e-1)/(e^2) < 1 temos e^(1/e*(1+(e-1)/e)) <=
>1+(e-1)/e + ((e-1)/e)^2. Por inducao concluimos que
>x^x^x^...^x <= 1 + (e-1)/e + ((e-1)/e)^2
>+...+((e-1)/e))^n <= e, para todo n. Logo x^....
>converge e sabemos que converge para e.
>  Mandei um e-mail inutil, desculpe!
>  Abracos,
>  Humberto Silva Naves
>
> --- Rui Viana <ruilovlist@hotmail.com> escreveu: >
>Olá a todos da lista,
>> Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte
>> problema :
>> Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ?
>> Bom, a principio x^x^x...=2 => x^2 = 2 => x =
>> 2^(1/2)
>> Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x =
>> 4^(1/4) = 2^(1/2) ???
>> Então agente fez um teste e descobriu que
>> (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge 
>> para 2 e não para 4 (não provamos isso)
>> Daí agente decidiu tentar :
>> Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n
>> tem solução x=n^(1/n), 
>> faça f(n) = n^(1/n).
>> Eu queria saber para que valor g(n) =
>> f(n)^f(n)^f(n)... converge ??
>> Parece que pra 0<n<1/e g é uma função concava,
>> 1/e<n<e g(n)=n e depois  para 
>> n>e g(n) é convexa e converge para algum valor.
>> Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre
>> g(n) ?
>> []'s,
>>                     Rui L Viana F
>>                     ruilov@mit.edu
>> 
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>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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