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Re: [obm-l] continuidade

On Sat, Apr 13, 2002 at 02:37:30PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> Ola pessoal!
> 
> Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a
> dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um
> teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me
> vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza:
> 
> O TEOREMA
> Seja f:[0,1]->[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1.
> Seja k (0<k<1) um numero real.
> Entao existe (pelo menos) um numero x (0<=x<=1-k) tal que
> f(x) + k = f(x + k).
> 
> O ARGUMENTO GEOMETRICO
> Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k < f(x + k) para todo x. O que
> isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k
> eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce
> exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta
> afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima
> dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence!
> Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa
> de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente.

Considere a função 

f(x) = x/4,             x em [0,1/4],
f(x) = 7x/4 - 3/8,      x em [1/4,3/4],
f(x) = x/4 + 3/4,       x em [3/4,1].

Note que f é contínua, f(0) = 0, f(1/4) = 1/16, f(3/4) = 15/16 e f(1) = 1.
Tome k = 3/4. Temos f(x+k) = x + 15/16 > x + 3/4 para todo x em [0,1/4].
Assim seu teorema não é verdadeiro da forma como você enunciou e o seu
argumento não deveria convencer.

Mas não desanime, tente corrigir...

[]s, N.
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