Re: [obm-l] continuidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> > On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote:
> > > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote:
> > > >Ola pessoal:
> > > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade.
> > > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos.
> > > >Prove
> > > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido
> > > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos."
> > >
> > > Vamos definir
> > > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas)
> > > ou se (5<x<6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6.
> >
> > Acho que você não deveria incluir x > 5, você assim está
> > mudando o problema.
> > >
> > > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto
é
> > > falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)<5 entre 0 e 5
ou
> > > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o
> > > percurso de 6 milhas em 30 minutos.
> >
> > ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30
> > donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5.
> > >
> > > Está tudo certo?
> >
> > Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está.
> >
> > Um problema mais difícil seria:
> > pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso
> > medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido
> > em exatamente 6 minutos?
>
> Ola pessoal e Nicolau!
>
> Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo.
> Basta definir
> f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas)
>
> Ver que
> f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30
>
> E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) < 5 ou f(x) >5 para todo
x.
>
> Um problema realmente mais dificil seria:
> pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo
> exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos?
>
> A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro!
>
> Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
>

Ola pessoal!

Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a
dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um
teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me
vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza:

O TEOREMA
Seja f:[0,1]->[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1.
Seja k (0<k<1) um numero real.
Entao existe (pelo menos) um numero x (0<=x<=1-k) tal que
f(x) + k = f(x + k).

O ARGUMENTO GEOMETRICO
Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k < f(x + k) para todo x. O que
isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k
eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce
exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta
afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima
dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence!
Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa
de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente.

Um abraco!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


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