Re: [obm-l] continuidade (correcao!)

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal!

Eu tenho que fazer mais uma correcao.

O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso!
Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha
conseguido provar para todo o k<1/2, contudo cometi um erro desapercebido e
agora estou raticando meu erro.

Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0)
= 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x
+ 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte
maneira:

Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e
[4/5,1]. E assume os seguinte valores
f(0) = 0
f(1/5) = 1/5 - (2c)
f(2/5) = 2/5 + c
f(3/5) = 3/5 - c
f(4/5) = 4/5 + (2c)
f(1) = 1

Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve.

Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais
cuidadoso daqui em diante.

Um abraco!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
>
> From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> > From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> > > From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> > > > On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote:
> > > > > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote:
> > > > > >Ola pessoal:
> > > > > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade.
> > > > > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos.
> > > > > >Prove
> > > > > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido
> > > > > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos."
> > > > >
> > > > > Vamos definir
> > > > > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas)
> > > > > ou se (5<x<6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6.
> > > >
> > > > Acho que você não deveria incluir x > 5, você assim está
> > > > mudando o problema.
> > > > >
> > > > > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que
> isto
> > é
> > > > > falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)<5 entre 0
e
> 5
> > ou
> > > > > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito
o
> > > > > percurso de 6 milhas em 30 minutos.
> > > >
> > > > ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30
> > > > donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5.
> > > > >
> > > > > Está tudo certo?
> > > >
> > > > Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está.
> > > >
> > > > Um problema mais difícil seria:
> > > > pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso
> > > > medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido
> > > > em exatamente 6 minutos?
> > >
> > > Ola pessoal e Nicolau!
> > >
> > > Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo.
> > > Basta definir
> > > f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas)
> > >
> > > Ver que
> > > f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30
> > >
> > > E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) < 5 ou f(x) >5 para
todo
> > x.
> > >
> > > Um problema realmente mais dificil seria:
> > > pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo
> > > exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos?
> > >
> > > A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero
inteiro!
> > >
> > > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
> > >
> >
> > Ola pessoal!
> >
> > Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a
> > dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um
> > teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente
> me
> > vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza:
> >
> > O TEOREMA
> > Seja f:[0,1]->[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1.
> > Seja k (0<k<1) um numero real.
>
> CORRECAO!!!
> ===(0<k<1/2)===
>
> Desculpe a confusao!
>
> > Entao existe (pelo menos) um numero x (0<=x<=1-k) tal que
> > f(x) + k = f(x + k).
> >
> > O ARGUMENTO GEOMETRICO
> > Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k < f(x + k) para todo x. O
que
> > isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x
+
> k
> > eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce
> > exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a
> reta
> > afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta
> acima
> > dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas
> convence!
> > Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem
precisa
> > de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente.
> >
> > Um abraco!
> >
> > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.

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