[obm-l] Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...

["Rafael Sanches (rakov)" <ixonz@xxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Fábio Dias Moreira" <fabiodias@ieg.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, April 06, 2002 1:44 PM
Subject: Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...


> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
>
> On Sunday 07 April 2002 00:03, you wrote:
>
> > Alguem poderia dar uma ajudinha??...as vezes cometo redundancias nas
> > demonstrações...me mandem demonstrações dos problemas abaixo para que eu
> > possa comparar. Os livros de teoria dos numeros só trazem gabarito para
> > exercicios computacionais( cálculos), e no meu modo de ver isso é uma
> > falha, haja visto que algumas duvidas quanto ao rigor das demonstrações
que
> > fazemos, sempre aparecem.
>
> > 1)demonstrar que para qualquer numero natural, 11^(n+2)+12^(2n+1) é
> > divísível por 133.
>
> (== quer dizer congruente)
>
> 11^(n+2)+12^(2n+1) == 11^2*11^n + (12^2)^n*12 == 121*11^n + 12*144^n ==
> - -12*11^n + 12*11^n == 0(mod 133)
>
> > 2)demonstrar que para qualquer numero inteiro n, n^7-n é divisível por
7.
>
> A solução rápida é usar o pequeno teorema de Fermat (n^7 == n (mod 7),
logo
> 7|n^7-n). Você pode analisar cada uma das classes de congruência módulo 7
> separadamente ou provar o pequeno teorema de Fermat como um lema.
>
> > 3) 1^3+2^3+....+n^3=(1+2+....+n)^2, para todo n pertencente a N*.
>
> Lema: 1+2+...+n = n*(n+1)/2
> Prova: Para n=1, 1 = 1*2/2. Suponha que a afirmação é válida para n.
Então:
> 1 +2 + ... + n = n*(n+1)/2 <=> 1 + 2 + ... + n + [n+1] = n*(n+1)/2 + [n+1]
=
> (n+2)*(n+1)/2 = [n+1]*([n+1] + 1)/2. Por indução, o lema é verdadeiro.
>
> Para n=1, 1^3 = 1^2. Suponha que a propriedade é válida para n. Então
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2*(n+1)^2/4 <=> 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3
=
> n^2*(n+1)^2/4 + (n+1)^3 = (n+1)^2*(n^2 + 4(n+1))/4 = (n+1)^2*(n^2 + 4n +
4)/4
> = (n+1)^2*(n+2)^2/4 = [n+1]^2*([n+1]+1)^2/4. Por indução, a afirmação é
> verdadeira.
>
> []s,
>
> - --
> Fábio Dias Moreira (fabiodias@ieg.com.br, ICQ 31136103, GPG key ID
0xBBF3190A)
> GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E  28D9 6A53 9016 BBF3 190A
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> Version: GnuPG v1.0.4 (GNU/Linux)
> Comment: For info see http://www.gnupg.org
>
> iEYEARECAAYFAjyvbEsACgkQalOQFrvzGQqqIQCg5g9bdlwN/WhsUeO2W89pJ9ow
> UrsAmwTRWMF7x5JeNkoDQ0Ajyq8YrWvv
> =nEju
> -----END PGP SIGNATURE-----
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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>
>


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