Re: [obm-l] Treino para olimpíadas...

[Fábio Dias Moreira <fabiodias@xxxxxxxxxx>]

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On Sunday 07 April 2002 00:03, you wrote:

> Alguem poderia dar uma ajudinha??...as vezes cometo redundancias nas
> demonstrações...me mandem demonstrações dos problemas abaixo para que eu
> possa comparar. Os livros de teoria dos numeros só trazem gabarito para
> exercicios computacionais( cálculos), e no meu modo de ver isso é uma
> falha, haja visto que algumas duvidas quanto ao rigor das demonstrações que
> fazemos, sempre aparecem.

> 1)demonstrar que para qualquer numero natural, 11^(n+2)+12^(2n+1) é
> divísível por 133.

(== quer dizer congruente)

11^(n+2)+12^(2n+1) == 11^2*11^n + (12^2)^n*12 == 121*11^n + 12*144^n == 
- -12*11^n + 12*11^n == 0(mod 133)

> 2)demonstrar que para qualquer numero inteiro n, n^7-n é divisível por 7.

A solução rápida é usar o pequeno teorema de Fermat (n^7 == n (mod 7), logo 
7|n^7-n). Você pode analisar cada uma das classes de congruência módulo 7 
separadamente ou provar o pequeno teorema de Fermat como um lema.

> 3) 1^3+2^3+....+n^3=(1+2+....+n)^2, para todo n pertencente a N*.

Lema: 1+2+...+n = n*(n+1)/2
Prova: Para n=1, 1 = 1*2/2. Suponha que a afirmação é válida para n. Então:
1 +2 + ... + n = n*(n+1)/2 <=> 1 + 2 + ... + n + [n+1] = n*(n+1)/2 + [n+1] = 
(n+2)*(n+1)/2 = [n+1]*([n+1] + 1)/2. Por indução, o lema é verdadeiro.

Para n=1, 1^3 = 1^2. Suponha que a propriedade é válida para n. Então
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2*(n+1)^2/4 <=> 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = 
n^2*(n+1)^2/4 + (n+1)^3 = (n+1)^2*(n^2 + 4(n+1))/4 = (n+1)^2*(n^2 + 4n + 4)/4 
= (n+1)^2*(n+2)^2/4 = [n+1]^2*([n+1]+1)^2/4. Por indução, a afirmação é 
verdadeira.

[]s,

- -- 
Fábio Dias Moreira (fabiodias@ieg.com.br, ICQ 31136103, GPG key ID 0xBBF3190A)
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