Re: OBM-u

[Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@xxxxxxxxxx>]

At 13:45 23/10/01 -0200, you wrote:
>On Tue, Oct 23, 2001 at 09:01:28AM -0200, Bruno Fernandes Cerqueira Leite
wrote:
>> At 00:30 23/10/01 -0200, you wrote:
>> >    Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado, acho que
>> >fiz a 1 e a 5, nao completei direito a 2 pq nao lembrava exatamente do
>> >enunciado (ou prova) de um teorema que tinha na Eureka 3 (no artigo de
>> >fracoes continuas) que me ajudaria muito. Na 4, que eu achei uma
questao bem
>> >interessante, eu tmb
>> >escrevi.
>> 
>> Podia usar o teorema da equidistribuição de {an} (a irracional, n natural)
>> mod 1 na questão 2?
>> Acho que se pudesse usar a questão ficaria quase trivial! (eu, por via das
>> dúvidas, não usei)
>> 
>> O teorema acima diz o seguinte (informal): a probabilidade de vc ter
>> x<{an}<y é y-x. 
>> ( onde {x}=x-[x] é a parte fracionária de x.) Isso mostra que a sequência
>> {an} é equidistribuida em [0,1).
>
>Claro que este teorema pode ser usado mas não acho que a questão fique
>tão trivial assim com este teorema. Lembrando, a questão é:
>
>Seja (epsilon) um número real positivo arbitrário.
>Com centro em todos os pontos do plano com coordenadas inteiras,
>traça-se um círculo de raio (epsilon).
>Prove que toda reta passando pela origem
>intercepta uma infinidade desses círculos.
>
>[]s, N.
>
Basta provarmos que {an}<epsilon (a é irracional)  tem infinitas soluções
({an} e´a parte fracionária de an=an-[an]) pois se n_0 é solução de
{an}<epsilon, o ponto (n_0, an_0) dista menos de epsilon de um ponto P de
coordenadas inteiras, logo a bola de raio epsilon em torno de P intercepta
a reta y=ax.

Mas, com o teorema da equidistribuição, sabemos que A(N)/N tende a epsilon,
onde A(N) é o número de naturais <=N
que satisfazem {an}<epsilon. (talvez o problema seja aqui, vou ver o
enunciado formal do teorema depois)

Aí é claro que A(N)->infinito, e acabou!

(está errado?)

Bruno