Re: OBM-u

[Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@xxxxxxxxxx>]

At 00:30 23/10/01 -0200, you wrote:
>    Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado, acho que
>fiz a 1 e a 5, nao completei direito a 2 pq nao lembrava exatamente do
>enunciado (ou prova) de um teorema que tinha na Eureka 3 (no artigo de
>fracoes continuas) que me ajudaria muito. Na 4, que eu achei uma questao bem
>interessante, eu tmb
>escrevi.

Podia usar o teorema da equidistribuição de {an} (a irracional, n natural)
mod 1 na questão 2?
Acho que se pudesse usar a questão ficaria quase trivial! (eu, por via das
dúvidas, não usei)

O teorema acima diz o seguinte (informal): a probabilidade de vc ter
x<{an}<y é y-x. 
( onde {x}=x-[x] é a parte fracionária de x.) Isso mostra que a sequência
{an} é equidistribuida em [0,1).

-----------

Eu acho que fiz a 1 a 2 e a 6 mais ou menos direitinho. Achei que tinha
feito a 4 certo, deixei uma meia hora do final para escrever a solução e
umas 6h20 vi que estava tudo errado!!! Aí  tentei consertar, nem sei se deu
certo ou nãop, pq só achei uma recorrência... Fiquei meio chateado pq achei
perdi uma questão fácil de bobeira.

>    Fiquei um tempao, umas 2h30m ou mais escrevendo nela, mas ja descobri q
>errei uma bobagem na solucao.. Na hora achei logo uma recorrencia que
>parecia facilitar a coisa e acreditei nela.. Ela se mostrou util, mas eh
>provavelmente uma maneira bem horrivel de se fazer a questao.. Acabou
>demorando bem mais do que eu imaginava ...
>    E voce, como foi na prova? Quais voce conseguiu fazer? Como foi o
>pessoal ai na USP? Do pessoal que eu conversei que fez a prova comigo,
>parece que a maioria foi mais ou menos igual a mim, acertando umas duas (O
>pessoal acertava em geral a 1 e a 4).
>    Alem da 3, ainda nao consegui enxergar nada muito interessante na 6.
>     Depois me mostraram algumas solucoes bem mais legais pra dois (a melhor
>que eu vi ateh agora criava 2 sequencias auxiliares para trelicas
>semelhantes a do problema e ai ficava bem simples.. )

Aí vai minha solução para a dois:

Seja y=ax a reta. Se a é racional é trivial. Então suponha a
irracional.Basta provarmos que a equação em n, 

{an}<epsilon

tem infinitas soluções para todo epsilon.

Mas {an} é limitada e injetora, então tem um ponto de acumulação x. Vc pega
dois caras próximos de x e aí vale que existem p,q tais que
{ap}-{aq}<epsilon. Aí eu provei que |{ap}-{aq}| ou é {a(p-q)} ou {a(q-p)}.

Então a equação {an}<epsilon tem uma solução n=p-q ou q-p inteira. Aí é
fácil ver que tem infinitas,pq se só tivesse finitas soluções, digamos
p_1,...p_r, então vc toma epsilon =min{{ap_1},{ap_2}...{ap_r}} e arruma
outra solução diferente das primeiras.

Bruno

>Bom, depois de reescrever tudo aqui no papel, ver onde eu tinha me enganado,
>e achar a nova resposta, nao aguentei e digitei aqui pra mandar pra lista
>tmb! Espero que vc e mais alguem alguem tenha paciencia de ler e/ou
>comentar! :)
>    Minhas ideias na dois seguem no proximo email!
>
>    Gostaria ainda de deixar uma pergunta sobre a questao 5. Eu consegui
>fazer a letra (b) usando a (a), mas hoje o
>Luciano me disse que tinha uma solucao legal do Nicolau integrando no plano
>complexo, que eu acabei esquecendo de perguntar.. Alguem (ou o proprio
>Nicolau) pode me mostrar como? Na prova, antes da (a), eu cheguei a tentar
>olhar pra integral como uma integral complexa no semicirculo de raio
>1(substituindo cosx = z + 1/z), mas nao sabia como achar os polos daquela
>funcao para poder integrar..
>
>Marcio
>
>----- Original Message -----
>From: "Bruno Fernandes Cerqueira Leite" <bruleite@uol.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, October 22, 2001 10:52 PM
>Subject: Re: OBM
>> ...
>> Acho que a Nelly também cometeu erros tipográficos na questão 3 do nível
>> universitário! :-)
>>
>> Essa questão era beeeeeem difícil, eu até agora não sei como fazer um
>> avanço não trivial.
>>
>> Aliás, ninguém parabenizou ainda a prova da universitária, então eu vou
>> parabenizar: estava muito boa, as questões eram muito bonitas: valeu a
>pena
>> pensar 9 horas nelas! (eu até pensaria mais) Como vcs foram?
>>
>> Bruno Leite
>>
>> >[]s, N.
>> >
>> >
>>
>
>