Re: OBM-u

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 23, 2001 at 01:11:38AM -0200, Rodrigo Villard Milet wrote:
>    E a�, M�rcio ! P�, como eu j� tinha falado contigo antes, qd cheguei em
> casa fiz de um jeito bem parecido com o seu, na for�a bruta mesmo. Mas na
> hora da prova eu fiz usando 2 fun��es, pra ver se montava uma recorr�ncia e
> montei :) O problema � que eu errei em um pedacinho, a� os erros de conta
> foram carregados at� o final... � uma pena...
>    Ah, eu queria saber se algu�m poderia dar uma id�ia pra 6. Eu cheguei a
> tentar um pouco na prova, e tentei mostrar algumsa coisas. Primeiro eu vi
> que o bordo ficava fixo. Mas n�o consegui provar que o centro era fixo, o
> que dificultou muito... Quando eu olhei pra essa quest�o, achei que tinha a
> ver com o teorema dos pontos fixos das contra��es... �, aquilo era uma
> contra��o somente quando valia a desigualdade estrita. Da�, eu supus por
> "Ultra contradi��o" que valia a desigualdade estrita para todos e a partir
> da� tentei ver para quais pontos isso era imopss�vel ( queria concluir que
> n�o era poss�vel para nenhum, n� ). Para o bordo � �bvio... da�, pelo
> teorema dos pontos fixos das contra��es, existe um �nico ponto no disco D,
> tal que f(a)=a, ou seja, apenas um ponto ficaria parado. Mas a� n�o consegui
> formalizar minha id�ia a partir da�.
>  Abra�os
>    Villard

Foram apresentadas v�rias solu��es para este problema. Segue uma solu��o minha.

Considere os dois discos como discos unit�rios no plano complexo.
Olhe para os pontos 1 e -1 no contradom�nio: eles devem ser imagens
de dois pontos no dom�nio a uma >= 2 um do outro, logo um par w, -w
com |w| = 1. Olhe agora para os pontos i e -i no contradom�nio:
eles novamente s�o imagens de um par w', -w' com |w'| = 1 e as dist�ncias
entre w e w', w e -w' devem ser ambas >= sqrt(2). Isto garante w' = +-iw.
Vou considerar apenas o caso w' = iw (o outro � an�logo).

Afirmo agora que f(z) = z/w para todo z.
De fato, considere um n�mero complexo z de m�dulo 1 no contradom�nio:
ele deve ser a imagem de um ponto do disco unit�rio cujas dist�ncias
a +-w e +-iw devem ser todas >= que as dist�ncias correspondentes para zw:
o �nico candidato � o pr�prio zw. Isto demonstra que f(z) = z/w para |z| = 1.
Finalmente considere z qualquer no contradom�nio.
Novamente ele � imagem de um ponto cujas dist�ncias a cada ponto do c�rculo
unit�rio s�o >= que as dist�ncias correspondentes para zw.
Novamente zw � o �nico candidato e isto termina o problema.

Note que o problema ainda vale trocando o disco por qq espa�o m�trico compacto
(o mesmo no dom�nio e contradom�nio, claro) mas a demo acima n�o se aplica.

[]s, N.