Re: OBM-u

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 23, 2001 at 01:11:38AM -0200, Rodrigo Villard Milet wrote:
>    E aí, Márcio ! Pô, como eu já tinha falado contigo antes, qd cheguei em
> casa fiz de um jeito bem parecido com o seu, na força bruta mesmo. Mas na
> hora da prova eu fiz usando 2 funções, pra ver se montava uma recorrência e
> montei :) O problema é que eu errei em um pedacinho, aí os erros de conta
> foram carregados até o final... é uma pena...
>    Ah, eu queria saber se alguém poderia dar uma idéia pra 6. Eu cheguei a
> tentar um pouco na prova, e tentei mostrar algumsa coisas. Primeiro eu vi
> que o bordo ficava fixo. Mas não consegui provar que o centro era fixo, o
> que dificultou muito... Quando eu olhei pra essa questão, achei que tinha a
> ver com o teorema dos pontos fixos das contrações... é, aquilo era uma
> contraçào somente quando valia a desigualdade estrita. Daí, eu supus por
> "Ultra contradição" que valia a desigualdade estrita para todos e a partir
> daí tentei ver para quais pontos isso era imopssível ( queria concluir que
> não era possível para nenhum, né ). Para o bordo é óbvio... daí, pelo
> teorema dos pontos fixos das contrações, existe um único ponto no disco D,
> tal que f(a)=a, ou seja, apenas um ponto ficaria parado. Mas aí não consegui
> formalizar minha idéia a partir daí.
>  Abraços
>    Villard

Foram apresentadas várias soluções para este problema. Segue uma solução minha.

Considere os dois discos como discos unitários no plano complexo.
Olhe para os pontos 1 e -1 no contradomínio: eles devem ser imagens
de dois pontos no domínio a uma >= 2 um do outro, logo um par w, -w
com |w| = 1. Olhe agora para os pontos i e -i no contradomínio:
eles novamente são imagens de um par w', -w' com |w'| = 1 e as distâncias
entre w e w', w e -w' devem ser ambas >= sqrt(2). Isto garante w' = +-iw.
Vou considerar apenas o caso w' = iw (o outro é análogo).

Afirmo agora que f(z) = z/w para todo z.
De fato, considere um número complexo z de módulo 1 no contradomínio:
ele deve ser a imagem de um ponto do disco unitário cujas distâncias
a +-w e +-iw devem ser todas >= que as distâncias correspondentes para zw:
o único candidato é o próprio zw. Isto demonstra que f(z) = z/w para |z| = 1.
Finalmente considere z qualquer no contradomínio.
Novamente ele é imagem de um ponto cujas distâncias a cada ponto do círculo
unitário são >= que as distâncias correspondentes para zw.
Novamente zw é o único candidato e isto termina o problema.

Note que o problema ainda vale trocando o disco por qq espaço métrico compacto
(o mesmo no domínio e contradomínio, claro) mas a demo acima não se aplica.

[]s, N.