Re: OBM-u

[Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@xxxxxxxxxx>]

At 01:11 23/10/01 -0200, you wrote:
>   E aí, Márcio ! Pô, como eu já tinha falado contigo antes, qd cheguei em
>casa fiz de um jeito bem parecido com o seu, na força bruta mesmo. Mas na
>hora da prova eu fiz usando 2 funções, pra ver se montava uma recorrência e
>montei :) O problema é que eu errei em um pedacinho, aí os erros de conta
>foram carregados até o final... é uma pena...


>   Ah, eu queria saber se alguém poderia dar uma idéia pra 6. Eu cheguei a
>tentar um pouco na prova, e tentei mostrar algumsa coisas. Primeiro eu vi
>que o bordo ficava fixo. Mas não consegui provar que o centro era fixo, o
>que dificultou muito..

O centro dista menos de 1 de qualquer ponto, então f(centro) deve distar
menos de 1 de qualquer ponto. Como f é sobrejetora, se f(centro)!=centro,
teria um ponto tal que distancia(f(p)-f(centro))>1, absurdo.

O que eu notei que me ajudou muito é que a imagem inversa de dois pontos
diametralmente opostos deve ser dois pontos diam. opostos. Entao, por
exemplo, dá para concluir não só que f(bordo)=bordo, como essa f é uma
composição de rotações com espelhamento!

Aí eu provei que se x está entre O (centro) e P (na borda) então f(x) está
entre f(O) (centro) e f(P) (na borda) e ainda, a distância ao centro é
conservada por f.
( não foi bem isso que eu provei, mas eu não me lembro mais direito da
ordem das coisas - a minha solução usou 9 lemas...)

Aí, acho que fica fácil!

Bruno Leite

. Quando eu olhei pra essa questão, achei que tinha a
>ver com o teorema dos pontos fixos das contrações... é, aquilo era uma
>contraçào somente quando valia a desigualdade estrita. Daí, eu supus por
>"Ultra contradição" que valia a desigualdade estrita para todos e a partir
>daí tentei ver para quais pontos isso era imopssível ( queria concluir que
>não era possível para nenhum, né ). Para o bordo é óbvio... daí, pelo
>teorema dos pontos fixos das contrações, existe um único ponto no disco D,
>tal que f(a)=a, ou seja, apenas um ponto ficaria parado.

Uma rotação cumpre todas as condições do enunciado e só o centro fica
parado, então vc não poderia ter concluido que mais de um ponto fica parado.

 Mas aí não consegui
>formalizar minha idéia a partir daí.
> Abraços
>   Villard
>-----Mensagem original-----
>De: Marcio <mcohen@iis.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Terça-feira, 23 de Outubro de 2001 00:57
>Assunto: Re: OBM-u
>
>
>>    Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado, acho que
>>fiz a 1 e a 5, nao completei direito a 2 pq nao lembrava exatamente do
>>enunciado (ou prova) de um teorema que tinha na Eureka 3 (no artigo de
>>fracoes continuas) que me ajudaria muito. Na 4, que eu achei uma questao
>bem
>>interessante, eu tmb
>>escrevi.
>>    Fiquei um tempao, umas 2h30m ou mais escrevendo nela, mas ja descobri q
>>errei uma bobagem na solucao.. Na hora achei logo uma recorrencia que
>>parecia facilitar a coisa e acreditei nela.. Ela se mostrou util, mas eh
>>provavelmente uma maneira bem horrivel de se fazer a questao.. Acabou
>>demorando bem mais do que eu imaginava ...
>>    E voce, como foi na prova? Quais voce conseguiu fazer? Como foi o
>>pessoal ai na USP? Do pessoal que eu conversei que fez a prova comigo,
>>parece que a maioria foi mais ou menos igual a mim, acertando umas duas (O
>>pessoal acertava em geral a 1 e a 4).
>>    Alem da 3, ainda nao consegui enxergar nada muito interessante na 6.
>>     Depois me mostraram algumas solucoes bem mais legais pra dois (a
>melhor
>>que eu vi ateh agora criava 2 sequencias auxiliares para trelicas
>>semelhantes a do problema e ai ficava bem simples.. )
>>Bom, depois de reescrever tudo aqui no papel, ver onde eu tinha me
>enganado,
>>e achar a nova resposta, nao aguentei e digitei aqui pra mandar pra lista
>>tmb! Espero que vc e mais alguem alguem tenha paciencia de ler e/ou
>>comentar! :)
>>    Minhas ideias na dois seguem no proximo email!
>>
>>    Gostaria ainda de deixar uma pergunta sobre a questao 5. Eu consegui
>>fazer a letra (b) usando a (a), mas hoje o
>>Luciano me disse que tinha uma solucao legal do Nicolau integrando no plano
>>complexo, que eu acabei esquecendo de perguntar.. Alguem (ou o proprio
>>Nicolau) pode me mostrar como? Na prova, antes da (a), eu cheguei a tentar
>>olhar pra integral como uma integral complexa no semicirculo de raio
>>1(substituindo cosx = z + 1/z), mas nao sabia como achar os polos daquela
>>funcao para poder integrar..
>>
>>Marcio
>>
>>----- Original Message -----
>>From: "Bruno Fernandes Cerqueira Leite" <bruleite@uol.com.br>
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Sent: Monday, October 22, 2001 10:52 PM
>>Subject: Re: OBM
>>> ...
>>> Acho que a Nelly também cometeu erros tipográficos na questão 3 do nível
>>> universitário! :-)
>>>
>>> Essa questão era beeeeeem difícil, eu até agora não sei como fazer um
>>> avanço não trivial.
>>>
>>> Aliás, ninguém parabenizou ainda a prova da universitária, então eu vou
>>> parabenizar: estava muito boa, as questões eram muito bonitas: valeu a
>>pena
>>> pensar 9 horas nelas! (eu até pensaria mais) Como vcs foram?
>>>
>>> Bruno Leite
>>>
>>> >[]s, N.
>>> >
>>> >
>>>
>>
>
>