Re: OBM-u

[Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@xxxxxxxxxx>]

Ai vai o mail do Marcio:

Bruno

At 09:45 23/10/01 -0300, you wrote:
>A minha solucao pra 5 foi assim:
>A primeira parte da letra (a) era bem facil. A segunda eu demorei um pouco
mais.. Primeiro troquei cosx por [2sen^(x/2) - 1] pra completar quadrados e
separo em duas integrais, que depois de alguma conta, ficam iguais a
2I[u].. (nao lembro exatamente como, mas eu tive que separar de 0 a Pi/2 e
depois de Pi/2 ateh Pi).
>Obs: Para quem nao viu a prova, todas as integrais abaixo estao sendo
feitas em x:
>
>Na letra (b), minha ideia foi primeiro ver que:
>I[u] = (1/2)I[u^2] = (1/4)I[u^4] = ... = (1/t)I[u^t] sempre que t eh
potencia de dois.
>1o caso: 0<u<1
>Como cos <= 1, vc tem 1+2ucosx+u^2<=(1+2u+u^2)=(1+u)^2
>Tirando log (crescente) e ja integrando, vc sempre tem:
>|I[u]|=|I[-u]|<=|Int[log(1+2u+u^2)dx]|<=Int[|log(1+u)^2|dx]=2Pi*log|1+u|
>Em particular, quando t eh uma potencia de 2, vc tem:
>|I[u]|=|I[u^t]/t |<= 2Pi*log|1+u^t|/t .
>Como 0<u<1, vc pode tirar limite dos dois lados quando t vai pra infinito
(na verdade, qdo k vai pra infinito) para concluir que 
>I[u]=0  nesse caso.
>Usando que I[u]=I[-u], vc conclui que I[u]=0 se |u|<= 1(em 1 eh obvio)
>
>Por outro lado, se |z|>1, trocando u por 1/u na definicao de I vem: 
>I(1/u)=Int[log(1-2cosx/u +1/u^2)] = 
>Int[log(u^2 - 2ucosx + 1)] - Int[2log|u|]
>Fazendo z = 1/u, temos que se |z|>1, entao |u|<1 e portanto:
>I(z) = 0 -2Pilog|u| = 2Pi*log|z|, o q conclui o problema..
>
>Marcio.
>
>
>-- Mensagem Original --
>De: Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@uol.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Enviar: 08:04 AM
>Assunto: Re: OBM-u
>
>At 00:30 23/10/01 -0200, you wrote:
>>    Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado,
>acho que
>>fiz a 1 e a 5, 
>
>Como é que faz a 5? Eu tentei integral dupla, mas desisti logo...
>
>Bruno
>
>
>
>
>
>