Re: OBM-u

[Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@xxxxxxxxxx>]

At 15:22 23/10/01 -0200, you wrote:
>Ai vai o mail do Marcio:
>
>Bruno
>
>At 09:45 23/10/01 -0300, you wrote:
>>A minha solucao pra 5 foi assim:
>>A primeira parte da letra (a) era bem facil. A segunda eu demorei um pouco
>mais.. Primeiro troquei cosx por [2sen^(x/2) - 1] pra completar quadrados e
>separo em duas integrais, que depois de alguma conta, ficam iguais a
>2I[u].. (nao lembro exatamente como, mas eu tive que separar de 0 a Pi/2 e
>depois de Pi/2 ateh Pi).
>>Obs: Para quem nao viu a prova, todas as integrais abaixo estao sendo
>feitas em x:
>>
>>Na letra (b), minha ideia foi primeiro ver que:
>>I[u] = (1/2)I[u^2] = (1/4)I[u^4] = ... = (1/t)I[u^t] sempre que t eh
>potencia de dois.
>>1o caso: 0<u<1
>>Como cos <= 1, vc tem 1+2ucosx+u^2<=(1+2u+u^2)=(1+u)^2
>>Tirando log (crescente) e ja integrando, vc sempre tem:
>>|I[u]|=|I[-u]|<=|Int[log(1+2u+u^2)dx]|<=Int[|log(1+u)^2|dx]=2Pi*log|1+u|
>>Em particular, quando t eh uma potencia de 2, vc tem:
>>|I[u]|=|I[u^t]/t |<= 2Pi*log|1+u^t|/t .
>>Como 0<u<1, vc pode tirar limite dos dois lados quando t vai pra infinito
>(na verdade, qdo k vai pra infinito) para concluir que 
>>I[u]=0  nesse caso.
>>Usando que I[u]=I[-u], vc conclui que I[u]=0 se |u|<= 1(em 1 eh obvio)
>>
>>Por outro lado, se |z|>1, trocando u por 1/u na definicao de I vem: 
>>I(1/u)=Int[log(1-2cosx/u +1/u^2)] = 
>>Int[log(u^2 - 2ucosx + 1)] - Int[2log|u|]
>>Fazendo z = 1/u, temos que se |z|>1, entao |u|<1 e portanto:
>>I(z) = 0 -2Pilog|u| = 2Pi*log|z|, o q conclui o problema..


Uau, muito bonita esta solução! Só não entendi pq I(u) =I(-u).
(na verdade tb não sei pq vc trocou cosx por [2sen^(x/2) - 1], mas acho que
vc quis dizer [2cos^2(x/2) - 1]...)

Bruno