OBM, nivel u, 2 fase, q 5

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi lista, alguém perguntou sobre a q5 do nível u:

Para todo real u, seja
I(u) = int_0^Pi log(1 - 2u cos x + u^2) dx

O item (a) dá uma dica de uma maneira elementar para calcular esta integral
mas há pelo menos duas outras soluções que não passam pelo item (a).

Solução A (funções harmônicas/física)

I(u) = int_0^Pi log(sen^2 t + cos^2 t - 2u cos t + u^2) dt
     = 1/2 int_0^(2Pi) log((u - cos t)^2 + (sen t)^2) dt
     = 1/2 int_((x,y) \in (S^1)) F((u,0) - (x,y)) ds

onde F é a função harmônica F(x,y) = log(x^2 + y^2)
(ou, para os físicos, o potencial gravitacional gerado
por uma massa pontual na origem em um universo de dimensão 2).

Assim,

I(u) = G(u,0) onde

G(u,v) = 1/2 int_((x,y) \in (S^1)) F((u,v) - (x,y)) ds

é harmônica exceto possivelmente em S^1, onde há singularidades.
Por outro lado é fácil verificar que mesmo em S^1 as integrais
convergem para uma resposta finita;
assim G é contínua no plano inteiro.
A interpretação física é que G é o potencial gravitacional
gerado por uma casca circular homogênea.
A função G tem uma simetria evidente:

G(u,v) = G(sqrt(u^2 + v^2),0) = I(sqrt(u^2 + v^2))

As únicas funções harmônicas no disco unitário que admitem esta simetria
são as funções constantes e uma conta simples mostra que G(0,0) = 0.
Assim, G(u,v) = 0 se u^2 + v^2 <= 1.
Por outro lado, as únicas funções harmônicas no complemento do disco
unitário que admitem a simetria acima são da forma

a + b log(u^2 + v^2)

e é claro que se u >>> 1 então G(u,0) = I(u) ~= Pi log(u^2) = 2 Pi log(u)
donde G(u,v) = Pi log(u^2 + v^2) para u^2 + v^2 >= 1.
Em resumo,

I(u) = 0 para |u| <= 1 e I(u) = 2 Pi log(|u|) para |u| >= 1.

SOLUÇÃO B (variável complexa)

Para u > 1,
     
I(u) = int_(z \in (S^1)) log(|u - z|) d|z|
     = int_(z \in (S^1)) Re(log(u - z)) dz/iz
     = Re(int_(z \in (S^1)) log(u - z)/iz dz)
     = Re(2Pi log(u))
     = 2Pi log(u)

onde da 3a para a 4a linha usamos a fórmula integral de Cauchy
para a função f(z) = log(u-z)/i com z_0 = 0.
Note que é importante que u > 1 para que a função seja analítica
no disco unitário aberto e contínua no fecho.

Para 0 < u < 1 seja v = 1/u > 1.
Para todo z com |z| = 1 temos |u-z| = |u| |v-z| donde

I(u) = int_(z \in (S^1)) log(|u - z|) d|z|
     = 2 Pi log(u) + int_(z \in (S^1)) log(|v - z|) d|z|
     = 0.


[]s, N.