Questao 2: OBM-u |k - p_n/q_n| < 1/(q_n*q_n+1) !

[mcohen@xxxxxxxxxx]

Bom, eu nunca ouvi falar desse teorema da equidistribuicao, e para falar a verdade nem consigo entender como ele da a solucao. Mas ai o problema eh comigo.. Falta conhecimento.. :)
No 1o quadrante (o outro eh simetrico), era suficiente mostrar que |kx - n| < epsilon ou seja, |k - n/x| < epsilon/x (eu vi que nao ia adiantar procurar intersecoes nas quais a abscissa nao fosse inteira).
Ai eu tentei construir a sequencia infinita por inducao.

O passo seria: Se eu ja tenho x_1,x_2,...x_k-1, entao
basta achar x_k > X=max{x_1,...,x_k-1} e um n associado satisfazendo a desigualdade. Ai eu escrevi que tinha um resultado de fracoes continuas que eu nao consegui lembrar exatamente qual era na prova que dava o meu link pro final da solucao e continuei.. Assim que cheguei em casa, olhei na eureka a pagina que enunciava o teorema e que formalizava a coisa:
Minha ideia era que os coeficientes das reduzidas q_n tendem a infinito (k eh irracional) e portanto eu posso escolher uma reduzida com q_n+1 > max{X,1/epsilon). Nesse caso, sendo p_n o numerador correspondente na expansao de k, tenho:
|k - p_n/q_n| < 1/(q_n*q_n+1) < epsilon/q_n (essa ultima linha era precisamente o teorema que eu queria lembrar certinho na hora da prova e nao consegui :( ).

Marcio

-- Mensagem Original --
De: Bruno Fernandes Cerqueira Leite <bruleite@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviar: 08:01 AM
Assunto: Re: OBM-u

At 00:30 23/10/01 -0200, you wrote:
>    Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado,
acho que
>fiz a 1 e a 5, nao completei direito a 2 pq nao lembrava exatamente
do
>enunciado (ou prova) de um teorema que tinha na Eureka 3 (no artigo
de
>fracoes continuas) que me ajudaria muito. Na 4, que eu achei uma
questao bem
>interessante, eu tmb
>escrevi.

Podia usar o teorema da equidistribuição de {an} (a irracional, n
natural)
mod 1 na questão 2?
Acho que se pudesse usar a questão ficaria quase trivial! (eu, por via
das
dúvidas, não usei)

O teorema acima diz o seguinte (informal): a probabilidade de vc ter
x<{an}<y é y-x. 
( onde {x}=x-[x] é a parte fracionária de x.) Isso mostra que a
sequência
{an} é equidistribuida em [0,1).

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