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Sauda,c~oes,
Numa demonstração, é importante saber/separar o que
se
supõe (hipótese) e a conclusão (tese). E também ida
(ou
primeira parte) e volta (segunda parte). Ou ==> e
<==.
Sem entrar no mérito das contas, você agiu certo nas
duas
partes.
Só gostaria de fazer um comentário: você usou o recurso
do produto escalar = 0 para provar a ida e depois
a
representação trigonométrica para a volta. Tudo bem,
mas
eu prefiro usar as mesmas idéias quando possível.
Experimente
fazer a ida supondo que @ = # + 2k pi +- (pi/2) e veja se
sai. Escreva
de volta dizendo o que vc achou.
Para o problema das patrulhas, veja o seguinte
problema:
Numa ilha, falam-se apenas 4 idiomas. Cada habitante fala
exatamente dois idiomas e para cada conjunto de dois idiomas, há um único
habitante que fala esses dois.
Quantos são os habitantes da ilha?
O Josimar resolveu este problema supondo que os idiomas são os
vértices de um quadrado e os homens, os lados e as diagonais. Assim, há C4,2
lados e diagonais, para um total de 6 habitantes.
A analogia com o problema abaixo é imediata. No polígono
regular de 11 vértices (patrulhas), há C11,2=55 lados
e diagonais, representando os soldados. E cada soldado é associado a duas
patrulhas.
Não sei se preciso explicar a fórmula n x 11 = 55 x 2 . Pense
assim: imagine que cada soldado precisa assinar um livro de controle.
Logo haverá um total de 55X2 assinaturas. Cada patrulha
fornece n assinaturas. E como há 11 patrulhas, ....
Neste problema usamos algumas estratégias de Polya: resolvemos
um outro problema, menor, para "sentir" o problema original; analogia; e a
memória.
[ ]'s
Lu'is
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quarta-feira, 6 de Junho de
2001 00:05
Primeiramente,eu gostaria de expor a
seguinte questão do último vestibular do IME:
Dois números complexos são ortogonais
se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si.Prove que dois
números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se,e somente
se,tivermos:
Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
Eu,agora,gostaria de expor uma resolução
minha:
Z1=a+bi com {a,b,x,y} contido em R
Z2=x+yi
Z1" ==> o conjugado de Z1,ou seja,
a-bi
Z2" ==> o conjugado de Z2,ou
seja,x-yi
Primeira parte: Z1 perpendicular
a Z2 ==> Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
Considere os vetores Z1(a,b) e Z2(x,y)
.Sendo perpendiculares,seu produto escalar é zero:
<Z1. Z2 > = 0
==> (ax + by) = 0 ==> x=b e y= -a
Então Z2 = b - ai e Z2" = b + ai .
Portanto: Z1Z2"= ab + a^2i + b^2i - ab = i (a^2 + b^2).Também temos :
Z1"Z2 = -ab + a^2i + b^2i + ab = -i
(a^2 + b^2).É facil ver que Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
.
Segunda parte: Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0 ==> Z1 perpendicular a
Z2
Vou utilizar a notação mod(Z) p/ indicar o
módulo de num número complexo Z.
Z1= mod(Z1)cis@ ==> Z1"= mod(Z1)cis(2pi -
@)
Z2= mod(Z2)cis# ==> Z2"= mod(Z2)cis(2pi -
#)
(@ e # são os argumentos de Z1 e Z2,respectivamente)
Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0 <==>
mod(Z1)cis@ x mod(Z2)cis(2pi - #) = (-1) x mod(Z1)cis(2pi -@) x
mod(Z2)cis#
Note que (-1) = cis(pi).
Daí:
cis(2pi - # + @) = cis(pi + 2pi - @ + #) ==> 2pi - # + @= pi + 2pi
- @ + # ==>
2@ - 2# = pi ==> @ - # = (pi/2) ==> Z1 perpendicular a
Z2.
Eu num tenho lá muita intimidade com
demonstrações,por isso gostaria que alguém comentasse essa resolução,obrigado
desde já a quem puder dizer algo.
Ah,tem outra questão ,tb do IME,que eu
até já vi a resolução,mas mesmo assim fiquei sem entender pq a resposta dá
aquilo mesmo.Eis a questão:
'Um comandante da companhia convocou
voluntários p/ a constituição de 11 patrulhas.Todas são formadas pelo mesmo
número de homens.Cada homem participa de exatamente duas patrulhas.Cada duas
patrulhas têm somente um homem em comum.Determine o número de voluntários e o
de integrantes de uma patrulha."
Bem,vi na internet que o número de voluntários é
dado por C 11,2 = 55.O número de integrantes de uma patrulha foi calculado
desta forma: n x 11 = 55 x 2 ,n = 10.Pois é...Mas eu não estou conseguindo
perceber pq dá isso...Já pude ver o quanto tem gente boa no assunto aqui na
lista e espero que alguém possa esclarecer essa questão pra mim.Deixa eu me
apresentar,meu nome é Eder (já deu pra perceber em alguma mensagens
anteriores),sou estudante do ensino médio,pré-vestibulando,e tenho particular
interesse por Matemática e Física,por isso procuro tentar resolver exercícios
mais complicados, consultar uns livrinhos "pebas" tipo os da Editora
Mir,hehehe,é claro que é brincadeira,aqueles livros da Mir são de lascar!Gosto
de ler tb os livros da SBM,enfim,tentar saber algo mais,o que não se costuma
ensinar nas aulas convencionais do colégio.
Falow"s e até a próxima mensagem.
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