Uma variante:
Sendo U, V nao nulos:
a) U e V sao colineares com a origem
(ou paralelos) sse U / V eh real (ou seja, U=tV, para algum real t), isto eh,
sse U / V eh o seu proprio conjugado, ou seja: U / V = U' / V'
(onde U' representa o conjugado de U), ou ainda: U V' = U' V.
b) U eh ortogonal a V sse U eh paralelo a
iV (ja que iV eh perpendicular a V), ou ainda, pelo item a, sse
U (iV)' = U' iV , ou seja, sse U V' + U' V = 0
(levando em conta que i' = -i).
Observe que U V' + U' V eh o dobro da
parte real de U V' (verifique), ou ainda, o dobro do produto escalar de U
por V. Portanto, este raciocinio mostra que U eh ortogonal eh V
sse o produto escalar de U por V eh nulo.
Repare que aqui eu deduzi (por complexos) esta
propriedade. Voce, na primeira parte, usou justamente esta propriedade como
mais conhecida, o que eh perfeitamente valido, eh claro. So acho que se voce a
tivesse usado tambem na segunda, ela sairia mais rapido.
JP
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, June 06, 2001 12:05
AM
Primeiramente,eu gostaria de expor a
seguinte questão do último vestibular do IME:
Dois números complexos são ortogonais
se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si.Prove que dois
números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se,e somente
se,tivermos:
Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
Eu,agora,gostaria de expor uma resolução
minha:
Z1=a+bi com {a,b,x,y} contido em R
Z2=x+yi
Z1" ==> o conjugado de Z1,ou seja,
a-bi
Z2" ==> o conjugado de Z2,ou
seja,x-yi
Primeira parte: Z1 perpendicular
a Z2 ==> Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
Considere os vetores Z1(a,b) e Z2(x,y)
.Sendo perpendiculares,seu produto escalar é zero:
<Z1. Z2 > = 0
==> (ax + by) = 0 ==> x=b e y= -a
Então Z2 = b - ai e Z2" = b + ai .
Portanto: Z1Z2"= ab + a^2i + b^2i - ab = i (a^2 + b^2).Também temos :
Z1"Z2 = -ab + a^2i + b^2i + ab = -i
(a^2 + b^2).É facil ver que Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0
.
Segunda parte: Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0 ==> Z1 perpendicular a
Z2
Vou utilizar a notação mod(Z) p/ indicar o
módulo de num número complexo Z.
Z1= mod(Z1)cis@ ==> Z1"= mod(Z1)cis(2pi -
@)
Z2= mod(Z2)cis# ==> Z2"= mod(Z2)cis(2pi -
#)
(@ e # são os argumentos de Z1 e Z2,respectivamente)
Z1 x Z2" + Z1" x Z2 = 0 <==>
mod(Z1)cis@ x mod(Z2)cis(2pi - #) = (-1) x mod(Z1)cis(2pi -@) x
mod(Z2)cis#
Note que (-1) = cis(pi).
Daí:
cis(2pi - # + @) = cis(pi + 2pi - @ + #) ==> 2pi - # + @= pi + 2pi
- @ + # ==>
2@ - 2# = pi ==> @ - # = (pi/2) ==> Z1 perpendicular a
Z2.
Eu num tenho lá muita intimidade com
demonstrações,por isso gostaria que alguém comentasse essa resolução,obrigado
desde já a quem puder dizer algo.
Ah,tem outra questão ,tb do IME,que eu
até já vi a resolução,mas mesmo assim fiquei sem entender pq a resposta dá
aquilo mesmo.Eis a questão:
'Um comandante da companhia convocou
voluntários p/ a constituição de 11 patrulhas.Todas são formadas pelo mesmo
número de homens.Cada homem participa de exatamente duas patrulhas.Cada duas
patrulhas têm somente um homem em comum.Determine o número de voluntários e o
de integrantes de uma patrulha."
Bem,vi na internet que o número de voluntários é
dado por C 11,2 = 55.O número de integrantes de uma patrulha foi calculado
desta forma: n x 11 = 55 x 2 ,n = 10.Pois é...Mas eu não estou conseguindo
perceber pq dá isso...Já pude ver o quanto tem gente boa no assunto aqui na
lista e espero que alguém possa esclarecer essa questão pra mim.Deixa eu me
apresentar,meu nome é Eder (já deu pra perceber em alguma mensagens
anteriores),sou estudante do ensino médio,pré-vestibulando,e tenho particular
interesse por Matemática e Física,por isso procuro tentar resolver exercícios
mais complicados, consultar uns livrinhos "pebas" tipo os da Editora
Mir,hehehe,é claro que é brincadeira,aqueles livros da Mir são de lascar!Gosto
de ler tb os livros da SBM,enfim,tentar saber algo mais,o que não se costuma
ensinar nas aulas convencionais do colégio.
Falow"s e até a próxima mensagem.