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Sent: Saturday, May 05, 2001 10:34
AM
Subject: Re: função composta - soluções
básicas
Estas questoes nao sao tao simples quanto podem
parecer.
Vou tomar a primeira como exemplo.
Eh relativamente facil mostrar que f deve
satisfazer a f(x)=c*x, onde c=f(1), para todo x racional.
Tambem eh (menos) facil mostrar isto para todo x
real, se supusermos que f satisfaz a uma dentre as seguintes condicoes
adicionais (podem existir outras):
a) f eh continua
b) f eh crescente
c) f leva positivos em positivos [este ultimo
nada mais eh do que o "teorema fundamental da proporcionalidade": se f eh uma
transformacao aditiva entre grandezas, entao estas grandezas sao
proporcionais"; veja Elon L.Lima: Meu professor de Matematica...]
Mas provar isto para todo x real, sem nenhuma
condicao adicional,
1) eu nao sei faze-lo;
2) acho que eh impossivel;
3) nao sei mostar contra-exemplo [isto eh, uma
funcao concreta que satisfaz a isto, sem ser linear];
4) creio que se pode garantir que ha
contra-exemplo [nao exibivel] por demonstracao nao construtiva, usando axioma
da escolha.
Estarei certo nos itens 2 e 4 acima?
JP
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Sent: Thursday, May 03, 2001 11:37
PM
Subject: Re: função composta - soluções
básicas
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Sent: Tuesday, May 01, 2001 9:04
AM
Subject: função composta
Olá amigos,
Vai a resposta para as equações funcionais básicas:
1) Equações funcionais de Cauchy
a) f(x+y)=f(x)+ f(y) f(x) =
c*x (linear)
b) f(x+y)=f(x)*f(y)
f(x)=a^x (exp)
c) f(x*y)=f(x)+f(y)
f(x)=c*lnx (log)
d)f(x*y)=f(x)*f(y)
f(x)=x^c
2)Equações funcionais de Jensen
a)f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2
f(x)=cx+a
3)Equações funcionais de
D'Alambert
f(x+y)+f(x-y)=2*f(x)*f(y)
f(x)=cos ou cosh b*x
4)Equações funcionais
trigonométricas
g(x+y)=f(x)*g(y)+f(y)*g(x)
g(x)=senx
g(x-y) =f(x)*g(y)-f(y)*g(x)
g(x)=senx
f(x+y)=f(x)*f(y)-g(x)*g(y) f(x)=cosx
f(x-y)
=f(x)*f(y)+g(x)*g(y) f(x)=cosx
Inúmeras questões da IMO seguem dessas idéias básicas.
Agora, resolvam esta: (IMO -
1992)
Ache todas as funções f::R -> R com a
seguinte propriedade para todo x,y E R (lê-se x pertencente aos
Reais):
f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]
Um abraço
Fábio
Arruda