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Estas questoes nao sao tao simples quanto podem
parecer.
Vou tomar a primeira como exemplo.
Eh relativamente facil mostrar que f deve
satisfazer a f(x)=c*x, onde c=f(1), para todo x racional.
Tambem eh (menos) facil mostrar isto para todo x
real, se supusermos que f satisfaz a uma dentre as seguintes condicoes
adicionais (podem existir outras):
a) f eh continua
b) f eh crescente
c) f leva positivos em positivos [este ultimo nada
mais eh do que o "teorema fundamental da proporcionalidade": se f eh uma
transformacao aditiva entre grandezas, entao estas grandezas sao proporcionais";
veja Elon L.Lima: Meu professor de Matematica...]
Mas provar isto para todo x real, sem nenhuma
condicao adicional,
1) eu nao sei faze-lo;
2) acho que eh impossivel;
3) nao sei mostar contra-exemplo [isto eh, uma
funcao concreta que satisfaz a isto, sem ser linear];
4) creio que se pode garantir que ha
contra-exemplo [nao exibivel] por demonstracao nao construtiva, usando axioma da
escolha.
Estarei certo nos itens 2 e 4 acima?
JP
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