Olá amigos,
Vai a resposta para as equações funcionais básicas:
1) Equações funcionais de Cauchy
a) f(x+y)=f(x)+ f(y) f(x) = c*x
(linear)
b) f(x+y)=f(x)*f(y)
f(x)=a^x (exp)
c) f(x*y)=f(x)+f(y)
f(x)=c*lnx (log)
d)f(x*y)=f(x)*f(y)
f(x)=x^c
2)Equações funcionais de Jensen
a)f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2
f(x)=cx+a
3)Equações funcionais de D'Alambert
f(x+y)+f(x-y)=2*f(x)*f(y) f(x)=cos ou
cosh b*x
4)Equações funcionais
trigonométricas
g(x+y)=f(x)*g(y)+f(y)*g(x) g(x)=senx
g(x-y) =f(x)*g(y)-f(y)*g(x)
g(x)=senx
f(x+y)=f(x)*f(y)-g(x)*g(y) f(x)=cosx
f(x-y)
=f(x)*f(y)+g(x)*g(y) f(x)=cosx
Inúmeras questões da IMO seguem dessas idéias básicas.
Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
Ache todas as funções f::R -> R com a seguinte
propriedade para todo x,y E R (lê-se x pertencente aos
Reais):
f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]
Um abraço
Fábio
Arruda