=?Windows-1252?Q?RES:_Aplica=E7=F5es_multilineares?=

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Saudações

Acho que consegui responder algumas de minhas próprias dúvidas, mas não
tenho certeza das respostas.  Gostaria que alguém que tenha conhecimento
desse assunto me dissesse se estou certo ou errado.

Uma aplicação quadrilinear seria uma aplicação linear com respeito a cada
uma das 4 variáveis.  Por exemplo, se B é quadrilinear então

B(x+x',y,z,w)=B(x,y,z,w)+B(x',y,z,w)
B(x,y+y',z,w)=B(x,y,z,w)+B(x,y',z,w)
B(x,y,z+z',w)=B(x,y,z,w)+B(x,y,z',w)
B(x,y,z,w+w')=B(x,y,z,w)+B(x,y,z,w')

B(ax,y,z,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,ay,z,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,y,az,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,y,z,aw)=aB(x,y,z,w)

Uma aplicação simétrica seria uma aplicação em que podemos "permutar as
variáveis" sem alterar o valor, isto é, se B:E^3->F é simétrica, então:

B(x,y,z)=B(x,z,y)=B(y,x,z)=B(y,z,x)=B(z,x,y)=B(z,y,x)

Lembrando o problema que propus

"Seja a função polinomial p: R^3 em R:
p(x,y,z)=7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1, para todo(x,y,z) de
R^3.Determine uma aplicação quadrilinear simétrica B4:
R^3xR^3xR^3xR^3 em R, uma trilinear B3, uma  bilinear B2, uma linear B1 e um
número real B0 de R, de modo que:
p(v)=B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0,
para todo v=(x,y,z) de R^3"

Acho que uma solução pode ser esta:

sejam

v1=(x(1),y(1),z(1))
v2=(x(2),y(2),z(2))
v3=(x(3),y(3),z(3))
v4=(x(4),y(4),z(4))

B4(v1,v2,v3,v4)= 7x(1)x(2)x(3)x(4) +
(1/4)(x(1)x(2)y(3)z(4) + x(1)x(2)z(3)y(4) +
      x(1)y(2)x(3)z(4) + x(1)z(2)x(3)y(4) +
      x(1)y(2)z(3)x(4) + x(1)z(2)y(3)x(4) +
      y(1)x(2)x(3)z(4) + z(1)x(2)x(3)y(4) +
      y(1)x(2)z(3)x(4) + z(1)x(2)y(3)x(4) +
      y(1)z(2)x(3)x(4) + z(1)y(2)x(3)x(4))

Neste caso, B4 é (seria) quadrilinear simétrica e se v=(x,y,z), então

B4(v,v,v,v)=7x^4+3x^2yz

Além disso

B3(v1,v2,v3)=8y(1)y(2)y(3) - z(1)z(2)z(3) é trilinear simétrica e
B3(v,v,v)=8y^3-z^3;
B2(v1,v2) = 5x(1)y(2) + 5x(2)y(1) é bilinear simétrica e B2(v,v)= 10xy
B1(v1) = -3x(1) + 2z(1) é linear e B(v) = -3x + 2z
tomando B0=1 temos:

B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0=
7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1=p(x,y,z), para todos x,y,z em R.

Gostaria de saber se a solução está correta.

Grato.

Eric.