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Oi. Sei que estou "um
pouco" atrasado, mas eu fiquei sem ler mensagens desta lista por muito
tempo. Peço que mesmo assim dêem uma olhada na minha
solução (para a 1a questão).
Dividirei o conjunto dos inteiros em
3 partes: o números da forma 3x, 3x+1 e 3x+2
Substituindo:
(3x)^3 - 3x = 27x^3 - 3x = 3*(9x^3 -
x)
(3x + 1)^3 - (3x+1) = 27x^3 + 27x^2 + 6x = 3*(9x^3
+ 9x^2 + 2x)
(3x + 2)^3 - (3x+2)
= 27x^3 + 54x^2 + 33x + 6 = 3*(9x^3 + 18x^2 + 11x + 2)
Assim, prova-se que a^3 - a é
sempre múltiplo de 3, para todo a pertencente ao conjunto dos inteiros,
certo?
Marcelo Souza wrote:
A 1 é fácil.
Tente fatorar a expressão pedida
colocando a em evidencia: a(a^2 - 1), fatorando mais ainda a^2 - 1 =
(a+1)(a-1) temos: (a-1)a(a+1). Percebeu que eles são
consecutivos? Analise os restos da divisão deste número
por 3. Quando vc divide um número por 3 ele pode deicar somente 3
restos 0, 1 ou 2. Como eles são consecutivos, eles
deixarão restos consecutivos, onde pelo menos um deles,
será igual a 0, o que garante divisibilidade por 3 (OK)?
>From: "Rubens"
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To:
>Subject: Múltiplos de 3
>Date: Mon, 26 Mar 2001
23:50:52 -0300
>
>Uma ajuda:
>
>1)Mostre que
a^3 - a é múltiplo de 3, para todo a inteiro.
>
>2) Mostre quer a^3 - b^3 é múltiplo de 3 se, e
somente se, a-b é múltiplo de 3.
>
>Obrigado
>
>
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