axiomas e verdades matem�ticas

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista,

    Estudando um pouco de fundamentos da matem�tica, me vieram grandes 
d�vidas sobre o que � uma "verdade absoluta" em matem�tica, independente de 
qualquer sistema de axiomas, e como prov�-las.
    A primeira d�vida: o que � um sistema de axiomas? Em algumas disciplinas 
do bacharelado em matem�tica, como An�lise Real e �lgebra, vemos 
demonstra��es a partir de alguns axiomas, como as propriedades de adi��o e 
multiplica��o, propriedades de ordena��o e axioma do supremo. Por�m, as 
dedu��es dos teoremas a partir dos axiomas, usam os argumentos l�gicos 
tradicionais, tidos como verdadeiros e incontest�veis.
    Mas alguns sistemas mais formalizados, utilizam regras de infer�ncia 
como Modus Ponens e substitui��o uniforme. As senten�as (as chamadas wff) 
passam a ser sequ�ncias de s�mbolos que obedecem certas regras de forma��o e 
os teoremas s�o obtidos mecanicamente a partir dos axiomas e regras de 
infer�ncia. As senten�as acabam se tornando livres de qualquer significado 
intuitivo para demonstrarmos os teoremas.
   Ficam, a�, duas perguntas: 1-todos sistemas s�o formalizados dessa 
maneira, incluindo ZFC e Postulado de Euclides? 2-Por mais mec�nico que 
seja, o fato de um sistema implicar tal teorema, n�o � uma verdade 
independente do sistema? N�o seria uma verdade absoluta que estou admitindo 
como verdadeira sempre?

   Outra d�vida ainda mais cruel. A matem�tica moderna defende que todas as 
verdades matem�ticas precisam decorrer de um sistema de axiomas, de forma 
que, nada que se demonstra em matem�tica � absoluto. Uma pergunta: O teorema 
de Godel depende de que axiomas? Ou melhor, a metamatem�tica se baseia em 
que axiomas, se ela, em si, estuda os sistemas de axiomas? Se dissermos: o 
teorema de Godel se baseia no ZFC ou em outro sistema de teoria dos 
conjuntos (segundo a matem�tica moderna, toda a matem�tica � baseada em um 
sistema de axiomas para teoria dos conjuntos), ent�o quer dizer que, se 
mud�ssemos esse sistema, poder�amos ter que o teorema de Godel fosse falso, 
revendo a possibilidade de cumprir o velho sonho de termos uma matem�tica 
consistente e completa.
    O segundo teorema de Godel diz que, se um sistema � consistente, sua 
consist�ncia n�o pode ser provada dentro do pr�prio sistema. Surge a d�vida: 
como provar a consist�ncia? Um sistema � consistente ou n�o � consistente. 
Isso � absoluto. Ou ele prova uma senten�a e sua nega��o ou ele n�o prova 
nenhuma senten�a e sua nega��o. N�o faz sentido dizermos que isso depende se 
estamos trabalhando no ZFC ou n�o.

    Em resumo: afinal, o que � absoluto na Matem�tica? Em outras palavras, o 
que realmente afirma, como verdade, essa ci�ncia (ou ramo do saber, se n�o 
querem chamar a matem�tica de ci�ncia) � qual dedicamos tantas horas por dia 
e que est� t�o presente no nosso cotidiano? Dizer que nada na Matem�tica � 
absoluto, � o mesmo que dizer "A matem�tica nada afirma, ela n�o existe", j� 
que um ramo do saber que nada afirma n�o existe.

    Agrade�o a aten��o e paci�ncia de terem lido tudo isso. Agrade�o mais 
ainda se algu�m responder ou pelo menos indicar um bom livro onde eu posso 
estudar Fundamentos da Matem�tica realmente "a fundo".

Rog�rio
_________________________________________________________________________
Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.