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Re: geometrias & triângulo com mais de 180o ?
Olá Rogério e demais listeiros! Amigo Rogério, desculpe-me pela demora.
OS POSTULADOS DE EUCLIDES SÃO:
1. Uma reta pode ser traçada de um para outro ponto qualquer.
2. Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente
para construir uma reta.
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um
círculo de centro naquele ponto e raio igual à dada distância.
4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.
5. Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos
interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois ângulos retos, então as
duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da
primeira reta em que se acham os dois ângulos.
Comentários:
O quarto postulado parece ser dispensável dada a sua obviedade, mas reparem
que não é o mesmo que dizer: “todos os ângulos retos são retos”. Para
Euclides, um ângulo reto era obtido, sobrepondo-se duas retas de modo que
formassem ângulos adjacentes iguais. Ele queria que o postulado garantisse
que os ângulos obtidos dessa maneira fossem sempre iguais.
Já o quinto postulado parece ter uma estrutura mais elaborada que os
demais, tendo um jeitão de teorema. Por isso Euclides (e muita gente boa
depois dele) passou um bom tempo tentando demonstrá-lo valendo-se unicamente
dos outros quatro teoremas. Este quinto postulado é equivalente a:
“Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à primeira”.
E eu acho (CORRIJAM-ME SE EU ESTIVER ERRADO) que é também equivalente à lei
angular de tales:
A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 2 retos.
OS AXIOMAS DE EUCLIDES
1. Duas coisas iguais a uma terceira, são iguais entre si.
2. Se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados
continuarão sendo iguais.
3. Se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão
iguais.
4. O todo é maior que a parte.
COMENTÁRIO
Hoje não existe distinção entre Postulado e Axioma.
Para os gregos (da época de Euclides), alguém que duvidasse da validade de
um postulado, não teria aptidão para o estudo da geometria, sem se tornar,
por exemplo, inapto ao estudo da aritmética; mas se alguém tivesse o
“topete” de duvidar de um axioma, esse infeliz não poderia exercer qualquer
atividade intelectual (talvez aí se tenha tido a idéia de se criar a
faculdade de pedagogia, para atender esse pessoal).
Brincadeirinha!!!!!!
Mas como o Nicolau colocou, essas coisas têm, hoje, apenas valor histórico.
Não raro vejo, em apostilas de pré-vestibular e até mesmo em livros, os
postulados sendo citados e depois, uma batelada de exercícios métricos, sem
nenhum problema de demonstração. Esquisito isto, não?
Não duvido que haja, ainda hoje, alunos do ensino médio decorando esses
postulados.
O mesmo ocorre com aqueles nomes das paralelas cortadas por uma transversal:
alternos e internos, colaterais internos etc. Acho que essas coisa aparecem
nos nossos livros didáticos como axiomas e esse batismo só teria utilidade,
para se fazer demonstrações.
[]s, Josimar
-----Mensagem original-----
De: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 11 de Abril de 2001 00:20
Assunto: Re: geometrias & triângulo com mais de 180o ?
>
>Por dois pontos passa uma única reta não decorre do axioma das paralelas?
Ou
>é um axioma?
>Aliás, quais são os axiomas de Euclides?
>
>>From: "josimat" <josimat@openlink.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Re: geometrias & triângulo com mais de 180o ?
>>Date: Mon, 9 Apr 2001 23:52:26 -0300
>>
>>Essa tal demonstracao errada nao seria de Lagrange, em vez de Legendre?
>>[]s, Josimar
>> -----Mensagem original-----
>> De: Alek <ksander@ig.com.br>
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Data: Terça-feira, 10 de Abril de 2001 22:12
>> Assunto: Re: geometrias & triângulo com mais de 180o ?
>>
>>
>> Desculpe, mas faz pouco tempo a professora de algebra linear provou
>>que por dois pontos distintos passa somente uma unica reta(na euclidiana).
>> Portanto ou essa definiçao de axioma esta errada, ou isso de
>>2pontos1reta nao é axioma.
>> ¿¿¿Alguem pode resolver este misterio???
>>
>>
>>
>> At 17:39 09/04/01 -0300, you wrote:
>>
>>
>> Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar
>>a geometria e,
>> para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada
>>teorema.
>> (Axioma é algo que não pode ser provado e que o bom senso diz ser
>>verdadeiro. Um
>> exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa
>>uma e somente
>> uma reta")
>>
>> Várias geometrias foram construídas ao longo dos tempos,
>>excluindo um ou
>> outro axioma. Em geral, devido a sua não-obviedade, o primeiro
>>axioma a ser
>> excluído era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P não
>>pertencente a
>> r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P).
>>Assim surgiram as
>> geometrias não-euclidianas, com várias aplicações teóricas e
>>algumas práticas.
>> Resumidamente, são classificadas de acordo com a soma dos ângulos
>>internos de um
>> triângulo: maior que 180 ou menor que 180.
>>
>> A geometria esférica (ou da esfera de Rienman) é aquela onde
>>as retas são os
>> círculos máximos, isto é, de centro no centro da esfera e raio
até
>>um ponto
>> desta. Com tais retas, pode-se construir um triângulo com três
>>(!!) ângulos
>> retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o
>>equador. Se
>> necessário, pegue um globo terrestre. É fácil ver que o V
>>postulado (o axioma
>> das paralelas escrito por Euclides) não vale nessa geometria.
>>
>> A geometria do Plano de Poincaré (é essa a geometria
>>elíptica?) toma a
>> região do plano cartesiano onde y>0 e adota como retas x = k e
>>arcos de
>> circunferências centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode
>>parecer estranho
>> à primeira vista (e realmente é), mas, assim, vc pode construir
um
>>triângulo com
>> menos de 180.
>>
>> Já a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por
>>exemplo por
>> Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para
>>construir a mesma
>> geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado,
>>ele cometeu um
>> erro de raciocínio que passou indetectado por anos. Isto é, todos
>>sabiam que
>> haviam um erro na argumentação dele, mas não conseguiam achá-lo.
>>Quem tiver
>> acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele.
>>
>> Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero
>>também que
>> alguém me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-)
>>
>> []'s
>>
>> Alexandre Tessarollo
>>
>> PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas
>>noções (e não o
>> estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de
>>geometrias
>> não-euclidianas MESMO, só em Geometria II, que é eletiva. A
>>propósito, bem
>> vindo, calouro. Abraços do seu veterano.. hehe
>>
>> Rodrigo Villard Milet wrote:
>>
>> > Sim ! Se você tiver soma dos ângulos internos igual a 180, com
>>certeza está
>> > presente o axioma das paralelas !
>> > ¡ Villard !
>> > -----Mensagem original-----
>> > De: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40
>> > Assunto: Re: triângulo com mais de 180o?
>> >
>> > >
>> > >Isso significa que poderíamos substituir o axioma das
paralelas
>>pelo
>> > >axioma: "Existe um triângulo em que a soma dos ângulos é
180°"?
>>Isto é,
>> > >a existência de um triângulo cuja soma dos ângulos é 180°
>>implica o axioma
>> > >das paralelas e, consequentemente, que em todos os triângulos
a
>>soma dos
>> > >ângulos é 180°?
>> > >
>> > >>From: "Antonio" <asnasc@momentus.com.br>
>> > >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o?
>> > >>Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300
>> > >>
>> > >> Até onde eu saiba, em geometrias não euclidianas, a soma
>>dos ângulos
>> > >>do
>> > >>triângulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus.
>> > >> Mas como esta não é minha especialidade, deixo para os
>>mestres da
>> > >>lista
>> > >>comentarem mais o assunto!
>> > >>
>> > >>----- Original Message -----
>> > >>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>> > >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >>Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM
>> > >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o?
>> > >>
>> > >>
>> > >> > A soma dos ângulos internos de um triângulo só é 180 graus
>>na geometria
>> > >> > euclidiana. Explicanco melhor : Se você verificar que a
>>soma dos
>> > ângulos
>> > >> > internos de um triângulo é 180, você só pode estar
>>trabalhando com a
>> > >> > geometria euclidiana. De fato, num triânguo esférico, a
>>soma dos
>> > ângulos
>> > >> > internos do triângulo é > 180 graus. Mas esse triângulo
não
>>é definido
>> > >>na
>> > >> > geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma
>>dos angulos
>> > é
>> > >>180
>> > >> > decorre do axioma das paralelas, que só é definido na geo
>>euclidiana.
>> > >> > Certamente, se você considerar uma geometria na
superfície
>>de uma
>> > >>esfera,
>> > >> > onde as retas são os grandes círculos, note que PAB será
um
>>triângulo
>> > >>sim.
>> > >> > Mas como nessa geometria não vale o axioma das paralelas,
>>não podemos
>> > >> > afirmar nada sobre a soma dos ângulos (só q ela é > 180).
>> > >> > Abraços,
>> > >> > ¡Villard!
>> > >> > -----Mensagem original-----
>> > >> > De: vinicius <rachador@mailbr.com.br>
>> > >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >> > Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55
>> > >> > Assunto: triângulo com mais de 180o?
>> > >> >
>> > >> >
>> > >> > >considerem a forma esférica da Terra. tracemos duas
linhas
>>de seu
>> > >>extremo
>> > >> > >superior ou inferior (pólo norte ou pólo sul) - ponto P -
>>até dois
>> > >>pontos
>> > >> > >distintos pertencentes à linha do Equador - pontos A e B.
>>PAB pode ser
>> > >> > >considerado um triângulo? se a resposta for afirmativa,
>>este triângulo
>> > >> > >possuirá soma interna de seus ângulos maior que 180o.
isto
>>está de
>> > >>acordo
>> > >> > >com a definição de triângulo?
>> > >> > >
>> > >> > >
>> > >> >
>> > >> >
>> > >>
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