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Re: geometrias & tri�ngulo com mais de 180o ?
Ol� Rog�rio e demais listeiros! Amigo Rog�rio, desculpe-me pela demora.
OS POSTULADOS DE EUCLIDES S�O:
1. Uma reta pode ser tra�ada de um para outro ponto qualquer.
2. Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente
para construir uma reta.
3. Dados um ponto qualquer e uma dist�ncia qualquer, pode-se tra�ar um
c�rculo de centro naquele ponto e raio igual � dada dist�ncia.
4. Todos os �ngulos retos s�o iguais entre si.
5. Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois �ngulos
interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois �ngulos retos, ent�o as
duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da
primeira reta em que se acham os dois �ngulos.
Coment�rios:
O quarto postulado parece ser dispens�vel dada a sua obviedade, mas reparem
que n�o � o mesmo que dizer: �todos os �ngulos retos s�o retos�. Para
Euclides, um �ngulo reto era obtido, sobrepondo-se duas retas de modo que
formassem �ngulos adjacentes iguais. Ele queria que o postulado garantisse
que os �ngulos obtidos dessa maneira fossem sempre iguais.
J� o quinto postulado parece ter uma estrutura mais elaborada que os
demais, tendo um jeit�o de teorema. Por isso Euclides (e muita gente boa
depois dele) passou um bom tempo tentando demonstr�-lo valendo-se unicamente
dos outros quatro teoremas. Este quinto postulado � equivalente a:
�Por um ponto fora de uma reta passa uma �nica reta paralela � primeira�.
E eu acho (CORRIJAM-ME SE EU ESTIVER ERRADO) que � tamb�m equivalente � lei
angular de tales:
A soma das medidas dos �ngulos internos de qualquer tri�ngulo vale 2 retos.
OS AXIOMAS DE EUCLIDES
1. Duas coisas iguais a uma terceira, s�o iguais entre si.
2. Se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados
continuar�o sendo iguais.
3. Se quantias iguais forem subtra�das das mesmas quantias, os restos ser�o
iguais.
4. O todo � maior que a parte.
COMENT�RIO
Hoje n�o existe distin��o entre Postulado e Axioma.
Para os gregos (da �poca de Euclides), algu�m que duvidasse da validade de
um postulado, n�o teria aptid�o para o estudo da geometria, sem se tornar,
por exemplo, inapto ao estudo da aritm�tica; mas se algu�m tivesse o
�topete� de duvidar de um axioma, esse infeliz n�o poderia exercer qualquer
atividade intelectual (talvez a� se tenha tido a id�ia de se criar a
faculdade de pedagogia, para atender esse pessoal).
Brincadeirinha!!!!!!
Mas como o Nicolau colocou, essas coisas t�m, hoje, apenas valor hist�rico.
N�o raro vejo, em apostilas de pr�-vestibular e at� mesmo em livros, os
postulados sendo citados e depois, uma batelada de exerc�cios m�tricos, sem
nenhum problema de demonstra��o. Esquisito isto, n�o?
N�o duvido que haja, ainda hoje, alunos do ensino m�dio decorando esses
postulados.
O mesmo ocorre com aqueles nomes das paralelas cortadas por uma transversal:
alternos e internos, colaterais internos etc. Acho que essas coisa aparecem
nos nossos livros did�ticos como axiomas e esse batismo s� teria utilidade,
para se fazer demonstra��es.
[]s, Josimar
-----Mensagem original-----
De: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 11 de Abril de 2001 00:20
Assunto: Re: geometrias & tri�ngulo com mais de 180o ?
>
>Por dois pontos passa uma �nica reta n�o decorre do axioma das paralelas?
Ou
>� um axioma?
>Ali�s, quais s�o os axiomas de Euclides?
>
>>From: "josimat" <josimat@openlink.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Re: geometrias & tri�ngulo com mais de 180o ?
>>Date: Mon, 9 Apr 2001 23:52:26 -0300
>>
>>Essa tal demonstracao errada nao seria de Lagrange, em vez de Legendre?
>>[]s, Josimar
>> -----Mensagem original-----
>> De: Alek <ksander@ig.com.br>
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Data: Ter�a-feira, 10 de Abril de 2001 22:12
>> Assunto: Re: geometrias & tri�ngulo com mais de 180o ?
>>
>>
>> Desculpe, mas faz pouco tempo a professora de algebra linear provou
>>que por dois pontos distintos passa somente uma unica reta(na euclidiana).
>> Portanto ou essa defini�ao de axioma esta errada, ou isso de
>>2pontos1reta nao � axioma.
>> ���Alguem pode resolver este misterio???
>>
>>
>>
>> At 17:39 09/04/01 -0300, you wrote:
>>
>>
>> Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar
>>a geometria e,
>> para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada
>>teorema.
>> (Axioma � algo que n�o pode ser provado e que o bom senso diz ser
>>verdadeiro. Um
>> exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa
>>uma e somente
>> uma reta")
>>
>> V�rias geometrias foram constru�das ao longo dos tempos,
>>excluindo um ou
>> outro axioma. Em geral, devido a sua n�o-obviedade, o primeiro
>>axioma a ser
>> exclu�do era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P n�o
>>pertencente a
>> r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P).
>>Assim surgiram as
>> geometrias n�o-euclidianas, com v�rias aplica��es te�ricas e
>>algumas pr�ticas.
>> Resumidamente, s�o classificadas de acordo com a soma dos �ngulos
>>internos de um
>> tri�ngulo: maior que 180 ou menor que 180.
>>
>> A geometria esf�rica (ou da esfera de Rienman) � aquela onde
>>as retas s�o os
>> c�rculos m�ximos, isto �, de centro no centro da esfera e raio
at�
>>um ponto
>> desta. Com tais retas, pode-se construir um tri�ngulo com tr�s
>>(!!) �ngulos
>> retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o
>>equador. Se
>> necess�rio, pegue um globo terrestre. � f�cil ver que o V
>>postulado (o axioma
>> das paralelas escrito por Euclides) n�o vale nessa geometria.
>>
>> A geometria do Plano de Poincar� (� essa a geometria
>>el�ptica?) toma a
>> regi�o do plano cartesiano onde y>0 e adota como retas x = k e
>>arcos de
>> circunfer�ncias centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode
>>parecer estranho
>> � primeira vista (e realmente �), mas, assim, vc pode construir
um
>>tri�ngulo com
>> menos de 180.
>>
>> J� a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por
>>exemplo por
>> Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para
>>construir a mesma
>> geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado,
>>ele cometeu um
>> erro de racioc�nio que passou indetectado por anos. Isto �, todos
>>sabiam que
>> haviam um erro na argumenta��o dele, mas n�o conseguiam ach�-lo.
>>Quem tiver
>> acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele.
>>
>> Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero
>>tamb�m que
>> algu�m me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-)
>>
>> []'s
>>
>> Alexandre Tessarollo
>>
>> PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas
>>no��es (e n�o o
>> estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de
>>geometrias
>> n�o-euclidianas MESMO, s� em Geometria II, que � eletiva. A
>>prop�sito, bem
>> vindo, calouro. Abra�os do seu veterano.. hehe
>>
>> Rodrigo Villard Milet wrote:
>>
>> > Sim ! Se voc� tiver soma dos �ngulos internos igual a 180, com
>>certeza est�
>> > presente o axioma das paralelas !
>> > � Villard !
>> > -----Mensagem original-----
>> > De: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40
>> > Assunto: Re: tri�ngulo com mais de 180o?
>> >
>> > >
>> > >Isso significa que poder�amos substituir o axioma das
paralelas
>>pelo
>> > >axioma: "Existe um tri�ngulo em que a soma dos �ngulos �
180�"?
>>Isto �,
>> > >a exist�ncia de um tri�ngulo cuja soma dos �ngulos � 180�
>>implica o axioma
>> > >das paralelas e, consequentemente, que em todos os tri�ngulos
a
>>soma dos
>> > >�ngulos � 180�?
>> > >
>> > >>From: "Antonio" <asnasc@momentus.com.br>
>> > >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >>Subject: Re: tri�ngulo com mais de 180o?
>> > >>Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300
>> > >>
>> > >> At� onde eu saiba, em geometrias n�o euclidianas, a soma
>>dos �ngulos
>> > >>do
>> > >>tri�ngulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus.
>> > >> Mas como esta n�o � minha especialidade, deixo para os
>>mestres da
>> > >>lista
>> > >>comentarem mais o assunto!
>> > >>
>> > >>----- Original Message -----
>> > >>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>> > >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >>Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM
>> > >>Subject: Re: tri�ngulo com mais de 180o?
>> > >>
>> > >>
>> > >> > A soma dos �ngulos internos de um tri�ngulo s� � 180 graus
>>na geometria
>> > >> > euclidiana. Explicanco melhor : Se voc� verificar que a
>>soma dos
>> > �ngulos
>> > >> > internos de um tri�ngulo � 180, voc� s� pode estar
>>trabalhando com a
>> > >> > geometria euclidiana. De fato, num tri�nguo esf�rico, a
>>soma dos
>> > �ngulos
>> > >> > internos do tri�ngulo � > 180 graus. Mas esse tri�ngulo
n�o
>>� definido
>> > >>na
>> > >> > geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma
>>dos angulos
>> > �
>> > >>180
>> > >> > decorre do axioma das paralelas, que s� � definido na geo
>>euclidiana.
>> > >> > Certamente, se voc� considerar uma geometria na
superf�cie
>>de uma
>> > >>esfera,
>> > >> > onde as retas s�o os grandes c�rculos, note que PAB ser�
um
>>tri�ngulo
>> > >>sim.
>> > >> > Mas como nessa geometria n�o vale o axioma das paralelas,
>>n�o podemos
>> > >> > afirmar nada sobre a soma dos �ngulos (s� q ela � > 180).
>> > >> > Abra�os,
>> > >> > �Villard!
>> > >> > -----Mensagem original-----
>> > >> > De: vinicius <rachador@mailbr.com.br>
>> > >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >> > Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55
>> > >> > Assunto: tri�ngulo com mais de 180o?
>> > >> >
>> > >> >
>> > >> > >considerem a forma esf�rica da Terra. tracemos duas
linhas
>>de seu
>> > >>extremo
>> > >> > >superior ou inferior (p�lo norte ou p�lo sul) - ponto P -
>>at� dois
>> > >>pontos
>> > >> > >distintos pertencentes � linha do Equador - pontos A e B.
>>PAB pode ser
>> > >> > >considerado um tri�ngulo? se a resposta for afirmativa,
>>este tri�ngulo
>> > >> > >possuir� soma interna de seus �ngulos maior que 180o.
isto
>>est� de
>> > >>acordo
>> > >> > >com a defini��o de tri�ngulo?
>> > >> > >
>> > >> > >
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