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Isto eh o metodo conhecido como de Cardano (embora
a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro impresso de
Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro Resolucao de Equacoes
Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.
So alguns detalhes:
a) No passo 2, eh q, e nao -q.
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz "encontramos
raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos? Se for nos
complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes cubicas se escolherah.
Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar "raizes estranhas". Se voce so
aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver equacoes simples, que so
tem raizes reais.
O melhor eh substituir os passos 3 a 6
por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da equacao
acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de y1 (isto eh,
qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez achado
x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. Chamando u = -
p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que w^2=1/w =
conjugado de w)
d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; x3=
w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) foram
responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes" na resolucao
de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois (1830), que explica
quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula", em termos das
propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas raizes.
JP
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