Re: Algoritmo de equacao

Sauda,c~oes,

Somente duas observações:

1) as equações do 3o. grau não precisam ser incompletas. O algoritmo resolve equações do tipo

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 . Só que o primeiro passo é transformá-la na equação ax^3 + bx + c = 0 através de uma mudança de variáveis.

2) há também um algoritmo para resolver equações do 4o. grau. E um dos passos é resolver uma equação do 3o. grau.

O livro do JP deve falar disso.

[ ]'s

Lu'is

-----Mensagem Original-----

De: Jose Paulo Carneiro

Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Enviada em: Quinta-feira, 12 de Abril de 2001 14:32

Assunto: Re: Algoritmo de equacao

Isto eh o metodo conhecido como de Cardano (embora a ideia original nao seja dele), e publicado no primeiro livro impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545). Veja o meu livro Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ. Santa Ursula.

So alguns detalhes:

a) No passo 2, eh q, e nao -q.

b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz "encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos reais ou complexos? Se for nos complexos, seria necessario esclarecer qual das 3 raizes cubicas se escolherah. Isto pode dar problema no passo 6, e voce achar "raizes estranhas". Se voce so aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver equacoes simples, que so tem raizes reais.

O melhor eh substituir os passos 3 a 6 por:

3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao) da equacao acima.

4) Encontre uma raiz cubica z de y1 (isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)

5) Temos x1=z-p/(3z)

c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma vez achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas diretamente. Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que w^2=1/w = conjugado de w)

d) Observe tambem que x1=z+u; x2= wz+w^2u; x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao as raizes cubicas de 1) foram responsaveis, historicamente, pela introducao do tema "permutacoes" na resolucao de equacoes algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois (1830), que explica quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula", em termos das propriedades dos "grupos" de permutacoes das suas raizes.

JP

----- Original Message -----

From: Alexandre F. Terezan

To: OBM

Sent: Thursday, April 12, 2001 11:55 AM

Subject: Algoritmo de equacao

Por uma obra "do acaso", "descobri" (sem saber q já existia) um algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do tipo:

ax^3 + bx + c = 0

Chamamos tais raízes de x1, x2 e x3

1) Dividimos a equacao por a : x^3 + px + q = 0

2) Montamos uma nova equacao em y tal que: y^2 - qy - (p^3)/27 = 0

3) Encontramos as raízes y1 e y2 da equacao acima

4) Encontramos raíz cúbica de y1, chamando esta de k1

5) Encontramos raíz cúbica de y2, chamando esta de k2

6) Temos: x1 = k1 + k2

7) Dividimos (x^3 + px + q)/(x - x1), encontrando: x^2 + (x1)x + p + (x1)^2

8) As raízes desta equacao sao x2 e x3

9) x2 = (-x1 + sqrt(-4p -3(x1)^2))/2

10) x3 = (-x1 - sqrt(-4p -3(x1)^2))/2

Posso ter vacilado em alguma conta, por favor avisem...

[]'s

Alexandre Terezan