Re: axiomas e verdades matemáticas

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Muito pertinentes as suas duvidas, Rogerio.
Vou lhe indicar 3 livros.
1) What is Mathematics, Really?  de R.Hesch. Apesar de eu nao concordar com
a posicao dele no assunto, acho que ele expoe bem o problema e os argumentos
dos seus adversarios.
2) Philosophy of Mathematics, Selected Readings, editado por  Benacerraf &
Putnam. La voce encontrarah textos originais de B.Russell, Goedel, Quine,
Poincare, Brouwer, etc.
3) New Directions in the Philosophy of Mathematics, editado por T.Tymoczko,
1998. Traz as opinioes mais recentes (com comentarios) de Lakatos, Rene
Thom, Polya, Hersch, Putnam (What is Mathematical Truth?), Goodman
(Mathematics as an Objective Science), etc.

Desde que este bicho te mordeu, prepare-se para estuda-lo o resto da vida.
JP




----- Original Message -----
From: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, April 12, 2001 2:20 PM
Subject: axiomas e verdades matemáticas


> Caros colegas da lista,
>
>     Estudando um pouco de fundamentos da matemática, me vieram grandes
> dúvidas sobre o que é uma "verdade absoluta" em matemática, independente
de
> qualquer sistema de axiomas, e como prová-las.
>     A primeira dúvida: o que é um sistema de axiomas? Em algumas
disciplinas
> do bacharelado em matemática, como Análise Real e Álgebra, vemos
> demonstrações a partir de alguns axiomas, como as propriedades de adição e
> multiplicação, propriedades de ordenação e axioma do supremo. Porém, as
> deduções dos teoremas a partir dos axiomas, usam os argumentos lógicos
> tradicionais, tidos como verdadeiros e incontestáveis.
>     Mas alguns sistemas mais formalizados, utilizam regras de inferência
> como Modus Ponens e substituição uniforme. As sentenças (as chamadas wff)
> passam a ser sequências de símbolos que obedecem certas regras de formação
e
> os teoremas são obtidos mecanicamente a partir dos axiomas e regras de
> inferência. As sentenças acabam se tornando livres de qualquer significado
> intuitivo para demonstrarmos os teoremas.
>    Ficam, aí, duas perguntas: 1-todos sistemas são formalizados dessa
> maneira, incluindo ZFC e Postulado de Euclides? 2-Por mais mecânico que
> seja, o fato de um sistema implicar tal teorema, não é uma verdade
> independente do sistema? Não seria uma verdade absoluta que estou
admitindo
> como verdadeira sempre?
>
>    Outra dúvida ainda mais cruel. A matemática moderna defende que todas
as
> verdades matemáticas precisam decorrer de um sistema de axiomas, de forma
> que, nada que se demonstra em matemática é absoluto. Uma pergunta: O
teorema
> de Godel depende de que axiomas? Ou melhor, a metamatemática se baseia em
> que axiomas, se ela, em si, estuda os sistemas de axiomas? Se dissermos: o
> teorema de Godel se baseia no ZFC ou em outro sistema de teoria dos
> conjuntos (segundo a matemática moderna, toda a matemática é baseada em um
> sistema de axiomas para teoria dos conjuntos), então quer dizer que, se
> mudássemos esse sistema, poderíamos ter que o teorema de Godel fosse
falso,
> revendo a possibilidade de cumprir o velho sonho de termos uma matemática
> consistente e completa.
>     O segundo teorema de Godel diz que, se um sistema é consistente, sua
> consistência não pode ser provada dentro do próprio sistema. Surge a
dúvida:
> como provar a consistência? Um sistema é consistente ou não é consistente.
> Isso é absoluto. Ou ele prova uma sentença e sua negação ou ele não prova
> nenhuma sentença e sua negação. Não faz sentido dizermos que isso depende
se
> estamos trabalhando no ZFC ou não.
>
>     Em resumo: afinal, o que é absoluto na Matemática? Em outras palavras,
o
> que realmente afirma, como verdade, essa ciência (ou ramo do saber, se não
> querem chamar a matemática de ciência) à qual dedicamos tantas horas por
dia
> e que está tão presente no nosso cotidiano? Dizer que nada na Matemática é
> absoluto, é o mesmo que dizer "A matemática nada afirma, ela não existe",
já
> que um ramo do saber que nada afirma não existe.
>
>     Agradeço a atenção e paciência de terem lido tudo isso. Agradeço mais
> ainda se alguém responder ou pelo menos indicar um bom livro onde eu posso
> estudar Fundamentos da Matemática realmente "a fundo".
>
> Rogério
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