Re: estranho

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:

> Espera aí!
> 
>     Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como assim
> ser Q um conjunto enumerável?
>     Estou confuso.
>     E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
> calcule S, sendo
> 
>     S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
> 
>     Abraços, Eduardo
> 
> 
> >Um exemplo:
> >tome o conjunto dos números reais R.
> >lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos numeros
> irracionais) estao contidos >em R.
> >Escolha um elemento de R aleatoriamente.
> >Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
> >ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
> evento e perfeitamente >possivel.
> >Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
> algum sentido para voce) e I, >assim como R nao sao enumeraveis, ou seja sao
> "muito maiores".
> 

Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
o conjunto dos naturais.

O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
Escreve-se |X| = |Y|.
X é infinito enumerável se |X| = |N|.

O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
(a) função injetora de Y para X;
(b) função sobrejetora de X para Y.
As condições (a) e (b) são equivalentes.
Escreve-se |X| >= |Y|.

Naturalmente, escreve-se |X| > |Y| quando |X| >= |Y| mas |X| != |Y|
(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').

Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| < |R| = |C|,
onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
reais e complexos.
Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| < |P(X)|,
onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| <= |Y| ou |Y| <= |X|
e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).

O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).

[]s, N.