Re: soma

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Terminamos agora nossa mensagem de ontem.

Fazendo f(i) = (1+i)/2^i e i=0,1,2, \ldots, n e somando,
obtemos a soma 1 + 2/2 + 3/2^4 + \cdots + (1+n)/2^n
ou [ \sum_{0\leq i\leq n} 1/2^i ] + [ \sum_{1\leq i\leq n} i/2^i ]

A primeira soma e' uma PG. A segunda, uma PA-G, cuja
soma pode ser avaliada como visto abaixo (sequ"e^ncias
com

f(i) = i x^i  (no caso, x=1/2)

s~ao progress~oes aritme'tico-geome'tricas).

S_n = S_n(PG) + S_n(PA-G).

Fazendo \lim_{n\to\infty} S_n obtemos 4, como visto abaixo.

[ ]'s
Lui's

-----Mensagem Original-----
De: Paulo Santa Rita <psr@zipmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Terça-feira, 12 de Setembro de 2000 15:12
Assunto: Re: soma


Ola Eduardo,
Tudo Legal ?

Se voce observar bem, a serie que voce quer somar pode ser
interpretada como o produto ordenado de uma Progressao
Aritmetica por uma Progressao Geometrica ... De fato, em

1/(2^0) + 2/(2^1) + 3/(2^2) + 4/(2^3) + ...

os numeradores formam a Progressao Aritmetica :
1,2,3,4,5,.... Os denominadores formam a Progressao
Geometrica: 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Seja An = A1 + (N-1)*R o termo geral de uma PA e Gn =
G1*(q^(N-1)) o termo geral da Progressao Geometrica.
Queremos estudar Tn = An*Gn.
Para tanto, faca :

Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))

Entao :

T1 = A1*G1
T2 = (A1 + R)*G1*q
T3 = (A1 + 2*R)*G1*(q^2)
...
Tn = [A1 + (N-1)*R]*G1*(q^(N-1))

S = T1 + T2 + T3 + ... + Tn
q*S = q*T1 + q*T2 + q*T3 + ... + q*Tn

S - q*S =(T2 - q*T1) + (T3 - q*T2) + (T4 - q*T3) + ... + (Tn
- q*Tn-1)  + T1 - q*Tn

(1 - q)*S=R*G1*q + R*G1*(q^2) + R*G1*(q^3) + ... +
R*G1*(q^(N-1)) + T1 - q*Tn

(1-q)*S=R*G1*q( 1 + q + q^2 + ... + q^(N-2) ) + T1 - q*Tn

(1-q)*S=R*G1*q[(q^(N-1) - 1)/(q - 1) ] + T1 - q*Tn

(q-1)*S=(q*Tn - T1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q

S = (q*Tn - T1)/(q-1) - [ (q^(N-1) - 1))/((q -1)^2) ]*R*G1*q

Esta seria a "Formula do Termo Geral" para este tipo de
serie, no caso de um numero finito de termos. Todavia, se
modulo(q) < 1 entao q^N -> 0 ( tende a zero ) quando N tende
ao infinito e, portanto, Tn tambem tende a zero. Assim, no
Limite :

lim S = T1/(1 - q)  +  (R*G1*q)/(q - 1)^2  , ou

lim S = (A1*G1)/(1 - q)  +  (R*G1*q)/(q - 1)^2 , ou

lim S = [ A1  + ( q/(1 - q) )*R ]*(G1/(1 - q))

Esta ultima expressao e a que achei  mais bonita e que
portanto a que merece perdurar. ( A matematica e o reino da
Beleza ... O que e feio guarda defeitos nao percebidos e nao
permanece ... Quando voce vislumbra a Beleza e Simetria de
uma formula ou construcao, pode ter certeza que encetou pelo
caminho correto e que o levara a uma compreensao mais
profunda do tema ... )

No caso da sua serie :

A1 = primeiro termo da PA = 1
G1 = primeiro termo da PG = 1
R = razao da PA = 1
q = razao da PG = 1/2              (  modulo(q) < 1  )

Logo:

Lim S = [1 + ((1/2)/(1 - 1/2))*1]*(1/(1 - 1/2))
Lim S = 2*2 = 4

Trink than weing, was die zimember zimber !

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1509,12092000

On Tue, 12 Sep 2000 12:24:47 -0300
"Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br> wrote:
>Sauda,c~oes,
>
>Para somar se'ries, infinitas ou n~ao, geralmente
>e' boa ide'ia tentar escreve^-las como
>
>S_n = \sum_{p\leq i\leq q}  f(i) = f(p) + f(p+1) + \cdots
>+ f(q),
>
>onde p=0 ou 1 e q=n-1, ou n ou n+1.
>
>Para a soma
>
>S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + \cdots,
>
>vamos fazer p=0, q=n e deixamos f(i) para o leitor.
>Calculemos S_n e fa,camos
>
>S = \lim_{n \to \infty} S_n, onde \to representa --->.
>
>Damos os detalhes numa pro'xima mensagem.
>
>[ ]'s
>Luís
>