Re: uma desigualdade!

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Paulo Santa Rita wrote:
> 
> Carissimo Bruno,
> 
> Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo
> virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a
> oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas,
> tambem, amigos !
> 
> Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um
> evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie
> dos inversos dos quadrados
> 
> 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...
> 
> Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos
> cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto
> Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado.
> Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par
> qualquer.
> 
> Voce sabe como ele concluiu que
> 
> 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6   ?
> 
> Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do
> seno(x).
> 
> Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o
> desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio
> infinito que obedecia as relacoes de girard entre os
> coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um
> polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para
> encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes
> (infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ?
> 
> Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum
> outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com
> a soma dos inversos dos cubos. Por que ?
> 
> Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece
> tal como Gregori o viu:
> 
> pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
> 
> Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma
> soma de numeros impares, a saber:
> 
> N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1)
> 
> E portanto podemos expressar o resultado de Euler como:
> 
> 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 +
> 1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... )
> 
> Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica,
> entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie
> convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma
> natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series
> formam um triangulo aritmetico.
> 
> On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
> Bruno Leite <superbr@zip.net> wrote:
> >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
> >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
> >>  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 <3/2   para todo
> >n natural ?
> >
> >Um esboço de solução:
> >Provar por indução que  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
> >1/n^3 <3/2(1-1/n)
> >para n>1
> >
> >Então quando n->infinito, 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
> >1/n^3<3/2
> >
> >A série 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 é crescente,
> >limitada
> >superiormente e tem um limite que é menor que 3/2.
> >Logo para qualquer n natural 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  +
> >...+ 1/n^3 <3/2.
> >
> >Na verdade vale 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3
> ><1.202057
> >
> >
> >Abraço
> >
> >Bruno Leite
> >
> >Solicito aos caros amigos que desconsiderem uma burrice da minha parte ao afirmar que Euler usou série de Fourier para calcular a referida soma.
Li a mensagem meais rapidamente do que devia. O que eu queria dizer é
que essas somas de 1 sobre n elevado a expoente par sao calculáveis por
meio de séries de Fourier.
Desculpem a pisada na bola.
Morgado
PS: E o que eu sempre digo: ninguém descende de português impunemente. 
> >
> >
> 
>                     
> ________________________________________________
> Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/