Re: uma desigualdade!

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Prof Augusto Morgado,
Saudacoes !

Antes de tudo, gostaria de Lhe dizer que estamos Lhe
tratando por "Prof" porque, muito provavelmente, o Sr deve
ser o Iustre Prof Augusto Cesar Morgado, autor, em parceria
com o Genial Eduardo Wagner, dos melhores Livros de
Matematica para o ensino medio, dentre os que nos conheco.

Se assim for, conforme suspeitamos fortemente, Lhe devemos o
despertar de nosso interesse pela Matematica, há alguns anos
... De fato, se as coisas forem como supomos, nos permita
Lhe dizer que seus Livros de Geometria tem o inestimavel
valor de NÃO SE PERDEREM PROVANDO O OBVIO, DESENCANTANDO ,
DESTA  FORMA, AS INTELIGENCIAS; ANTES SE LANCAM COM
BREVIDADE NA APRESENTACAO DE FATOS INSUSPEITADOS E
INSTIGANTES QUE DESPERTAM O ENTUSIASMO E ADMIRACAO : Ora,
nos sabemos que o entusiasmo e a admiracao foram os
principais fatores que no alvorecer de nossa Civilizacao
fizeram surgir o pensamento Científico e Matematico ...

Nos sempre achamos que esta caracteristica deveria ser um
paradigma a ser seguido por todos os autores !

So a titulo de exemplificacao para as pessoas que não
conhecem os livros a que nos refirimos, vamos reproduzir
aqui a seguinte joia da Geometria :

TEOREMA : Vale a formula de Bramagupta se, e somente se, o
quadrilatero e ciclico.

Se Rz_2[x] e a raiz quadrada de "x" e "p" o semi-perimetro
de um triangulo de lados "a", "b" e "c", entao, a formula de
Heron 

S = Rz_2[p*(p - a)*(p - b)*(p - c)]

Nos permite calcular a area "S" do triangulo em funcao dos
Lados. A formula de Bramagupta para um quadrilatero de lados
"a", "b", "c", "d" e area "S" e :

S = Rz_2[(p - a)*(p - b)*(p - c)*(p - d)].

Esta formula so e valida se o quadrilatero e ciclico, vale
dizer, se ele e incritivel e circunscritivel.  

O teorema acima e Obvio ? Bastante conhecido ?
Indubitavelmente, Não ! E no entanto ele e belo e fascinante
... Esta joia - e muitas outras - se encontra nos livros a
que nos referimos acima.


Acrescentamos que, se o quadrilatero não e ciclico, devemos
usar :

S = Rz_2[ (p - a)*(p - b)*(p - c) - a*b*c*d*((cos(A))^2) ],
onde "A" e a metade da soma dos angulos opostos.

Bom, voltando ao que estavamos falando e se o Sr e o Prof
Morgado a quem nos referimos e se nos tivessemos tido a
felicidade de te-lo tido como Prof, inevitavelmente
perguntariamos :

" SER INSCRITIVEL E CIRCUNSCRITIVEL E UMA CONDICAO
NECESSARIA E SUFICIENTE PARA QUE A AREA DE UM POLIGONO
CONVEXO DE N LADOS SEJA EXPRESSA EXCLUSIVAMENTE EM FUNCAO
DOS SEUS LADOS ? SE SIM, COMO E ESSA FORMULA ? "

E ENTAO ?

Em deferencia ao Ilustre Prof , vamos mostrar aqui com
maiores detalhes como o Tio Euler encontrou a soma dos
inversos dos quadrados dos numeros naturais.

Todos nos sabemos que

sen(x) = x  -  (x^3)/(3!)  +  (x^5)/(5!)  -  (x^7)/(7!)  +
...

assim, a equacao "sen(x)=0" pode ser pensada como uma
equacao polinomial infinita, isto e:

sen(x)=0 <=> 0 = x  -  (x^3)/(3!)  +  (x^5)/(5!)  -
(x^7)/(7!)  +  ...
sen(x)=0 <=>0 = 1  -  (x^2)/(3!)  +  (x^5)/(5!)  -
(x^7)/(7!)  +  ...

fazendo y = x^2, a equacao fica :

0=1  -   y/(3!)  +  (y^3)/(5!)  -  (y^5)/(7!)  +  (y^7)/(9!)
-  ...

Ora, as raizes de sen(x) = 0 são x = k*(pi), k inteiro, ou
seja, são " pi, 2*pi, 3*pi, 4*pi, ..." e os seus simetricos
"-pi, -2*pi, -3*pi, 4*pi, ...", como y = x^2, a equacao em
"y" tem para raizes:

(pi)^2,  (2*pi)^2,  (3*pi)^2,  (4*pi)^2, ...

Por outro lado, para qualquer equacao polinomial finita, as
relacoes de Girard entre os coeficientes e as raizes  nos
asseguram que a soma dos inversos das raizes e igual ao
simetrico do coeficiente do termo de grau 1.

Na equacao em "y" este coeficiente e "-1/(3!). Portanto :

1/(3!) = 1/(pi^2)  +  1/((2*pi)^2)  +  1/((3*pi)^2)  +  ...
1/6 = (1/(pi^2))*(1 +  1/4  +  1/9  +  1/16  +  1/25  + ...)

(pi^2)/6 = 1  +  1/4  +  1/9  +  1/16  +  1/25  +  ...

Todos os passos do Tio Euler, conforme vimos, são bastantes
simples, mesmo elementares. Num único ponto ele mostra a
imprescindivel dose de audacia que precisam ter todos os
criadores, qual seja, QUANDO APLICA PARA UMA EQUACAO
POLINOMIAL INFINITA AS RELACOES DE GIRARD, QUE, A PRINCIPIO,
SABEMOS SEREM VALIDAS SOMENTE NO CASO FINITO.

A atitude do Tio Euler e uma prova, indireta, do que
estavamos comentando acima sobre os Livros do Prof Augusto
Morgado. Se Euler fosse daqueles que exigem uma prova formal
das relacoes mais obvias e elementares, jamais teria dado
esse passo e nos não saberiamos o que sabemos !  

Finalizando e seguindo Euler, o que podemos concluir sobre
series infinitas de reciprocos de quadrados, partindo nao de
sen(x), mas de cos(x) ? 

Se o Sr nao e o Prof Morgado a que tenho nos temos referido
em toda esta mensagem, queira nos desculpar o engano.

Um abraco
Paulo Santa Rita
5,0933,13072000

On Wed, 12 Jul 2000 10:59:31 -0300
Augusto Morgado <morgado@centroin.com.br> wrote:
>Solicito aos caros amigos que desconsiderem uma burrice
>da minha parte ao afirmar que Euler usou série de Fourier
>para calcular a referida soma.
>Li a mensagem meais rapidamente do que devia. O que eu
>queria dizer é
>que essas somas de 1 sobre n elevado a expoente par sao
>calculáveis por
>meio de séries de Fourier.
>Desculpem a pisada na bola.
>Morgado
>PS: E o que eu sempre digo: ninguém descende de português
>impunemente. 
       
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