Re: uma desigualdade!

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Saudações a todos,

Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida:

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> On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
> Bruno Leite <superbr@zip.net> wrote:
> >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
> >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
> >>  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 <3/2   para todo
> >n natural ?
> >
> >Um esbo=E7o de solu=E7=E3o:
> >Provar por indu=E7=E3o que  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
> >1/n^3 <3/2(1-1/n)
> >para n>1
> >
> >Ent=E3o quando n->infinito, 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
> >1/n^3<3/2
> >
> >A s=E9rie 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 =E9 crescente,
> >limitada
> >superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2.
> >Logo para qualquer n natural 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  +
> >...+ 1/n^3 <3/2.
> >
> >Na verdade vale 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3
> ><1.202057
> >
> >Abra=E7o
> >
> >Bruno Leite
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1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
temos o seguinte resultado:

Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado
por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2.

2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução.

3) Como achar o limite superior 1.202057 ?

[]s
Luís Lopes