Re: uma desigualdade!

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Carissimo Bruno,

Antes de mais nada, registro minha alegria em "reve-lo
virtualmente". Saudacoes ! Parece que aqui na lista temos a
oportunidade de consquistar nao so conhecimentos, mas,
tambem, amigos ! 

Esta serie e, de fato, interessantissima ... Ela guarda um
evidente parentesco - ao menos quanto a forma - com a serie
dos inversos dos quadrados 

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... 

Tio Euler pode somar esta serie, mas, a dos inversos dos
cubos, nao. E digno de nota que tanto Bernoulli quanto
Leibniz tentaram, sem sucesso, obter o mesmo resultado.
Posteriormente Tio Euler generalizou para uma potencia par
qualquer. 

Voce sabe como ele concluiu que

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ... = ((pi)^2)/6   ?

Nao ? Observando o desenvolvimento em serie de Taylor do
seno(x).

Como seno(x)=0 => x=k*(pi), K inteiro, Euler concluiu que o
desenvolvimento em serie de seno(x) era um polinomio
infinito que obedecia as relacoes de girard entre os
coeficientes e as raizes de uma equacao(valido para um
polinomio finito ). Dai aplicou estas relacoes para
encontrar a soma dos inversos dos quadrados das raizes
(infinitas) do polinomio infinito. Genial, nao ?

Mas, conforme falei, Tio Euler nao teve sucesso ( e nenhum
outro matematico depois dele, ate hoje - pelo que sei ) com
a soma dos inversos dos cubos. Por que ?

Bom, "pi" aparece com muitas caras. Em particular aparece
tal como Gregori o viu:

pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...

Por outro lado, qualquer quadrado pode ser expresso como uma
soma de numeros impares, a saber:

N^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*N - 1)

E portanto podemos expressar o resultado de Euler como:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + ...=(1/6)*(1 - 1/3 +
1/5 - ...)*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... )

Ocorre que se (a1, a2, a3, ... ) e uma progressao harmonica,
entao, sempre, (a1 - a2 + a3 - a4 + ...) e uma serie
convergente e a soma dos inversos dos quadrados e da masma
natureza que a soma dos numeros triangulares. Esta series
formam um triangulo aritmetico.

On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
Bruno Leite <superbr@zip.net> wrote:
>At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
>>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
>>  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 <3/2   para todo
>n natural ?
>
>Um esboço de solução:
>Provar por indução que  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
>1/n^3 <3/2(1-1/n)
>para n>1
>
>Então quando n->infinito, 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
>1/n^3<3/2
>
>A série 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 é crescente,
>limitada
>superiormente e tem um limite que é menor que 3/2.
>Logo para qualquer n natural 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  +
>...+ 1/n^3 <3/2.
>
>Na verdade vale 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3
><1.202057
>
>
>Abraço
>
>Bruno Leite
>
>
>
>

                    
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