Re: Questões de Teoria dos Números

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Ok...

Sistema ELITE de Ensino - Unidade Belém wrote:
> 
> Peço ajuda da lista para resolver estes 5 problemas de Teoria dos Números:
> 
> 1) Prove que um número de 9 dígitos, que contém todos os 9 dígitos decimais,
> exceto zero, e que não termina em 5, não pode ser um quadrado perfeito.

	Que não termine por 5 eu não sei... Eu já vi esse problema antes com a
condição "que *termine* por 5"...
	Se fosse o meu enunciado, então:

	N=n^2 termina por 5 implica que n termina por 5, digamos, n=10a+5.
	Então n^2 = 100a(a+1)+25 termina por 25 e seu antepenúltimo algarismo é
o último de a(a+1). Examinando todas as possibilidades para o último
dígito:
	a	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
	a(a+1)  0 2 6 2 0 0 2 6 2 0
	Como 0 não entra e o 2 já foi usado no 25, N termina por 625. Escreva:
	N=1000b+625
	Mas então 125|N e, como N é quadrado perfeito, 625|N. Isso implica que
5|b, isto é, b termina por 0 ou 5 e o próximo dígito de N seria este 0
ou este 5. Ambos não servem (0 não entra, 5 já foi).
	Assim, tal quadrado perfeito não existe.
 
> 2) Dados os números naturais n, m, k. Sabe-se que m^n é divisível por n^m; e
> n^k é divisível por k^n. Prove que m^k é divisível por k^m.

	Note que (m^k/k^m)^n=(m^n/n^m)^k . (n^k/k^n)^m é inteiro. Mas se a^n é
natural e a é racional, então a é natural! Então k^m | m^k.

> 3) Dados os inteiros positivos a, b, c, tais que a^3 é divisível por b, b^3
> é divisível por c, c^3 é divisível por a. Prove que  (a + b + c)^13 é
> divisível por abc.

	Note que c | b^3 | a^9; b | a^3 | c^9 e a | c^3 | b^9.
	O desenvolvimento de (a+b+c)^13 tem um bando de termos (todos com
coeficientes naturais) que contêm abc, exceto por:

 Termo a^13 = a^9.a^3.a que é múltiplo de c.b.a
 Idem para b^13 e c^13
 Termos em a^k b^(13-k) com 1<=k<=12
  Se 10<=k<=12, separe como a^9 b^(13-k) a^(k-9) que é múltiplo de c.b.a
  Se 1<=k<=9, separe como a^k b^3 b^(10-k) que é múltiplo de a.c.b
 Idem para outros termos com apenas (a e c) ou (b e c).
 Portanto, todos os termos são divisíveis por abc.
	
> 
> 4) x e y são números naturais tais que  3x^2 + x = 4y^2 + y. Prove que  x -
> y  é o quadrado de um números inteiro.

	Trabalho:
		Escreva x=y+a e substitua na equação. Encontre
		y^2-6ay-(3a^2+a)=0
		Delta da quadrática = 4(12a^2+a) = 4K^2 (tem de ser quadrado perfeito
para que a solução inteira para y exista)
		Então a(12a+1) é quadrado perfeito. Mas a e 12a+1 são primos entre si,
então cada um dos dois é quadrado perfeito.

	Mesma solução, mas parece mágica:
		Note que (x-y)(12(x-y)+1) = 12x^2-24xy+12y^2+x-y=
		= (9x^2-24xy+16y^2)+(3x^2-4y^2+x-y) = (4y-3x)^2
		(o segundo termo da soma é zero)
		Como (x-y) e 12(x-y)+1 são primos entre si e seu produto é um
quadrado, ambos são quadrados.		

> 5) Existem números naturais x, y, z tais que  x^2 + y^3 = z^4?

	Hmmm... Com a *minha* definição de naturais, x=y=z=0 é solução. Se você
quer números positivos, a resposta ainda é sim. De fato, aqui está um
grande número de soluções:
	(6000x^6)^2+(400x^4)^3=(100x^3)^4	
	Por exemplo, x=1 nos dá:
	6000^2+400^3=100^4
	Eu a encontrei partindo de 3^2+4^2=5^2. Para transformar o termo do
meio num cubo, multiplique por 4 (se 4 não fosse quadrado perfeito, eu
multiplicaria por 16).
	6^2 + 4^3 = 10^2
	Agora basta ajeitar as coisas para que o da direita seja uma quarta
potência sem estragar o quadrado e o cubo obtidos. Não estragar o lado
esquerdo quer dizer multiplique tudo por K^6... Como fazer 10^2 K^6 =
(10K^3)^2 ser uma quarta potência? A maneira mais simples é tomar
K=10... Acabou.

	Este método sempre dá certo desde que você comece com um triângulo
pitagórico:
	a^2 + b^2 = c^2 (vezes b^4.c^6)
	a^2.b^4.c^6 + b^6.c^6 = b^4.c^8
	(a.b^2.c^3)^2 + (b^2.c^2)^3 = (b.c^2)^4

	Legal agora seria provar que TODAS as soluções vêm desse método...

	Abraço,
		Ralph