Re: Curiosidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 14 May 2000, bene@digi.com.br wrote:

>        Curiosidades:
> 
> 1) No plano, existem  3  vezes mais triângulos obtusos do que triângulos 
> acutângulo!!
> 
> O matemático canadense, Richard K. Guy  (já falecido, se não me 
> engano)  provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
> 
> Alguém conhece uma outra demonstração?
> 
> 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante 
> colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles 
> Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no País das Maravilhas"):
>   "Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade 
> desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?"
> Alguëm se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2

Acho que estes dois problemas estão formulados de forma incompleta.
O que significa tomar três pontos "aleatoriamente" no plano?
Para dar sentido a esta expressão, é preciso dizer que probabilidade
é associada aos eventos fundamentais: isto é o que se chama
dar a medida de probabilidade do problema.
Qual é, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?

Note que em muitos problemas de probabilidade existe uma única medida
possível, ou pelo menos existe uma medida "natural", "óbvia pelo contexto".
Por exemplo, se eu digo: "Jogamos três dados, qual a probabilidade de que
a soma dos pontos seja um número primo?" está implícito que são três
dados de seis faces numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6; que as 6 faces são
equiprováveis; que os três dados são independentes.
Já no caso da sua pergunta, não acho nada óbvio qual seja a medida
de probabilidade envolvida.

No meu artigo da Eureka 1, "Como perder amigos e enganar pessoas",
(disponível também em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/bom.tar.gz
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/bom.ps.gz
leia as explicações do que fazer com estes arquivos na home page)
eu discuto 4 problemas enganosos de probabilidade.
O 4o tem tudo a ver com esta questão de medidas de probabilidades
não tão óbvias. Eu transcrevo:

4. Aqui novamente devemos nos imaginar em um programa
de auditório. Eugênio foi sorteado e tem direito a um prêmio
mas ele deve escolher entre dois envelopes lacrados aparentemente iguais.
O apresentador informa que cada envelope tem um cheque e que o valor
de um cheque é o dobro do outro, mas não diz nada sobre o valor dos cheques
nem indica qual envelope contem o cheque de maior valor.
Eugênio escolhe e abre um envelope
que contem um cheque de, digamos, R$ 100.
Neste momento o apresentador sempre faz uma proposta ao convidado:
ele pode trocar de envelope mediante uma ``multa'' de 5%
do valor do cheque que ele tem em mãos---no caso, R$ 5.
Assim, se Eugênio aceitar ele pode ganhar R$ 45
(se o cheque no segundo envelope for de R$ 50)
ou R$ 195 (se o outro cheque for de R$ 200).
Suponhamos que Eugênio
(que fez um curso de Introdução à Probabilidade no período anterior)
queira maximizar o valor esperado de seu prêmio: deve ele aceitar a troca?
E se o valor do primeiro cheque tivesse sido outro,
de que forma deveria isto influenciar a decisão de Eugênio?
Se Eugênio trocar de envelope independentemente do valor do cheque
não vale mais a pena para ele trocar de envelope antes de abrir,
evitando assim a multa?

Sugiro que pensem no problema antes de ler o resto do artigo.

[]s, N.