Re: Curiosidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote:

> On Sun, 14 May 2000, bene@digi.com.br wrote:
> 
> >        Curiosidades:
> > 
> > 1) No plano, existem  3  vezes mais triângulos obtusos do que triângulos 
> > acutângulo!!
> > 
> > O matemático canadense, Richard K. Guy  (já falecido, se não me 
> > engano)  provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
> > 
> > Alguém conhece uma outra demonstração?
> > 
> > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante 
> > colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles 
> > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no País das Maravilhas"):
> >   "Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade 
> > desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?"
> > Alguëm se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
> 
> Acho que estes dois problemas estão formulados de forma incompleta.
> O que significa tomar três pontos "aleatoriamente" no plano?
> Para dar sentido a esta expressão, é preciso dizer que probabilidade
> é associada aos eventos fundamentais: isto é o que se chama
> dar a medida de probabilidade do problema.
> Qual é, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
> ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?

Depois de responder, notei que não apenas o enunciado é incompleto
mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1),
a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e não a expressão complicada,
aliás com parêntesis descasados, que aparece no item (2).

De qualquer forma, encontrei uma interpretação que me pareceu satisfatória
para obter a resposta do item (a). Se tomamos três pontos ao acaso
no círculo unitário (a curva apenas, não o disco) então a probabilidade
de obtermos um triângulo acutângulo é realmente 1/4.
A demonstração não é difícil.

Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros
pontos A e B simétricos em relação ao eixo horizontal, como indicado.
Se o ângulo entre o eixo horizontal e o raio OA é alfa,
então o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa)
(marcado em vermelho na figura) para que o triângulo ABC seja acutângulo.
Como alfa assume um valor aleatório entre 0 e (pi/2),
não é difícil concluir que a probabilidade de que ABC seja acutângulo
é 1/4.

Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido
(por exemplo, pontos aleatórios em um disco)
a resposta provavelmente será outra.

[]s, N.

agudo.gif