Re: Curiosidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote:

> On Sun, 14 May 2000, bene@digi.com.br wrote:
> 
> >        Curiosidades:
> > 
> > 1) No plano, existem  3  vezes mais tri�ngulos obtusos do que tri�ngulos 
> > acut�ngulo!!
> > 
> > O matem�tico canadense, Richard K. Guy  (j� falecido, se n�o me 
> > engano)  provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
> > 
> > Algu�m conhece uma outra demonstra��o?
> > 
> > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante 
> > colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseud�nimo do pastor ingl�s Charles 
> > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no Pa�s das Maravilhas"):
> >   "Se tr�s pontos s�o escolhidos aleatoriamente, qual � a probabilidade 
> > desses pontos serem v�rtices de um tri�ngulo obtus�ngulo?"
> > Algu�m se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
> 
> Acho que estes dois problemas est�o formulados de forma incompleta.
> O que significa tomar tr�s pontos "aleatoriamente" no plano?
> Para dar sentido a esta express�o, � preciso dizer que probabilidade
> � associada aos eventos fundamentais: isto � o que se chama
> dar a medida de probabilidade do problema.
> Qual �, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
> ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?

Depois de responder, notei que n�o apenas o enunciado � incompleto
mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1),
a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e n�o a express�o complicada,
ali�s com par�ntesis descasados, que aparece no item (2).

De qualquer forma, encontrei uma interpreta��o que me pareceu satisfat�ria
para obter a resposta do item (a). Se tomamos tr�s pontos ao acaso
no c�rculo unit�rio (a curva apenas, n�o o disco) ent�o a probabilidade
de obtermos um tri�ngulo acut�ngulo � realmente 1/4.
A demonstra��o n�o � dif�cil.

Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros
pontos A e B sim�tricos em rela��o ao eixo horizontal, como indicado.
Se o �ngulo entre o eixo horizontal e o raio OA � alfa,
ent�o o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa)
(marcado em vermelho na figura) para que o tri�ngulo ABC seja acut�ngulo.
Como alfa assume um valor aleat�rio entre 0 e (pi/2),
n�o � dif�cil concluir que a probabilidade de que ABC seja acut�ngulo
� 1/4.

Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido
(por exemplo, pontos aleat�rios em um disco)
a resposta provavelmente ser� outra.

[]s, N.

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