Re: Curiosidade

["Benedito Tadeu V. Freire" <bene@xxxxxxxxxxxx>]

Prezado Nicolau,
Gostei muito de suas observações sobre as questões, especialmente aquelas,
esclarecedoras, sobre o questionamento de que probabilidade está associada ao
problema  etc. É pena que eu não consegui abrir o segundo arquivo que você enviou.
Quanto a resposta ao problema que você acha que está errada, ela é dada no artigo
citado, e que pode ser vista como uma conseqüência do que o autor lá desenvolveu.
Obrigado
Benedito Freire

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

> On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote:
>
> > On Sun, 14 May 2000, bene@digi.com.br wrote:
> >
> > >        Curiosidades:
> > >
> > > 1) No plano, existem  3  vezes mais triângulos obtusos do que triângulos
> > > acutângulo!!
> > >
> > > O matemático canadense, Richard K. Guy  (já falecido, se não me
> > > engano)  provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
> > >
> > > Alguém conhece uma outra demonstração?
> > >
> > > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante
> > > colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles
> > > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no País das Maravilhas"):
> > >   "Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade
> > > desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?"
> > > Alguëm se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
> >
> > Acho que estes dois problemas estão formulados de forma incompleta.
> > O que significa tomar três pontos "aleatoriamente" no plano?
> > Para dar sentido a esta expressão, é preciso dizer que probabilidade
> > é associada aos eventos fundamentais: isto é o que se chama
> > dar a medida de probabilidade do problema.
> > Qual é, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
> > ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?
>
> Depois de responder, notei que não apenas o enunciado é incompleto
> mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1),
> a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e não a expressão complicada,
> aliás com parêntesis descasados, que aparece no item (2).
>
> De qualquer forma, encontrei uma interpretação que me pareceu satisfatória
> para obter a resposta do item (a). Se tomamos três pontos ao acaso
> no círculo unitário (a curva apenas, não o disco) então a probabilidade
> de obtermos um triângulo acutângulo é realmente 1/4.
> A demonstração não é difícil.
>
> Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros
> pontos A e B simétricos em relação ao eixo horizontal, como indicado.
> Se o ângulo entre o eixo horizontal e o raio OA é alfa,
> então o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa)
> (marcado em vermelho na figura) para que o triângulo ABC seja acutângulo.
> Como alfa assume um valor aleatório entre 0 e (pi/2),
> não é difícil concluir que a probabilidade de que ABC seja acutângulo
> é 1/4.
>
> Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido
> (por exemplo, pontos aleatórios em um disco)
> a resposta provavelmente será outra.
>
> []s, N.
>
>   ------------------------------------------------------------------------
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