Questões de Teoria dos Números

[Sistema ELITE de Ensino - Unidade Belém <titular@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Peço ajuda da lista para resolver estes 5 problemas de Teoria dos Números:

1) Prove que um número de 9 dígitos, que contém todos os 9 dígitos decimais,
exceto zero, e que não termina em 5, não pode ser um quadrado perfeito.

2) Dados os números naturais n, m, k. Sabe-se que m^n é divisível por n^m; e
n^k é divisível por k^n. Prove que m^k é divisível por k^m.

3) Dados os inteiros positivos a, b, c, tais que a^3 é divisível por b, b^3
é divisível por c, c^3 é divisível por a. Prove que  (a + b + c)^13 é
divisível por 13.

4) x e y são números naturais tais que  3x^2 + x = 4y^2 + y. Prove que  x -
y  é o quadrado de um números inteiro.

5) Existem números naturais x, y, z tais que  x^2 + y^3 = z^4?