Re: é uma elipse ou não?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 18 Jan 2000, Carlos Gomes wrote:

> Alô pessoal, tudo ok?!. Tenho uma dúvida!. Eis a questão:
>  Se seccionarmos uma superfície cônica com um plano podemos obter como
> intersecção da superfície cônica com o plano uma elipse. E se
> seccionarmos uma superfície cilíndrica com um plano não perpendicular ao
> seu eixo é evidente que obtemos como intersecção entre e superfície
> cilíndrica e a o plano uma curva de formato oval, está curva é ou não
> uma elipse? Justifique!.
> 
> Um abraço a todos vocês, muito grato, Carlos A. Gomes. - Natal/RN
> 

Sim, 'e uma elipse. A forma mais simples de ver isto em ambos os casos
'e a seguinte: a superf'icie do cilindro ou do cone ambas t^em grau 2
(i.e., s~ao descritas por uma equa,c~ao de grau 2 da forma
a x^2 + b y^2 + c z^2 + d xy + e xz + f yz + g x + h y + i z + j = 0).
O grau n~ao muda se rodarmos, transladarmos ou dilatarmos as superf'icies.
A interse,c~ao da superf'icie com o plano xy 'e uma curva obtida impondo
z = 0, i.e., eliminando os termos envolvendo z. 'E portanto uma curva
de grau 2. Como j'a vimos que mover a superf'icie n~ao altera o grau
segue que a interse,c~ao de qualquer superf'icie de grau 2 com qualquer
plano 'e sempre uma curva de grau 2, i.e., uma c^onica:
c'irculo, elipse, par'abola, hip'erbole, ou, em casos degenerados,
um par de retas, uma 'unica reta (com multiplicidade 2), um ponto ou o vazio.
Assim, a interse,c~ao entre , digamos, um hiperbol'oide obtido
girando uma hip'erbole ao redor de um de seus eixos e um plano
'e sempre uma destas curvas.


A superf'icie de grau 2 mais simples 'e o cilindro, ent~ao a constru,c~ao
que voc^e sugere para a elipse 'e mais simples do que a mais usual
com o cone e torna mais evidente, por exemplo, que a elipse admite dois
eixos de simetria. A raz~ao pela qual o cone 'e mais popular 'e provavelmente
que com um cilindro n~ao podemos obter par'abolas ou hip'erboles.
Ali'as, um cilindro 'e um caso limite de um cone.

[]s, N.