Ainda não entendi até hoje!

[Carlos Gomes <sebs@xxxxxxxxxxxxx>]

 Alô pessoal, tudo OK?. Tenho uma dúvida e gostaria de
ajuda!.
                 
Quando cursa-se Análise matématica todo mundo estuda o seguinte
teorema:
            
(Intervalos encaixados) Dada uma sucessão infinita de intervalos
fechados e não vazios em R, I(n)=[a(n),b(n)] com I(n+1) contido
em I(n) para qualquer n natural, existe pelo menos um número real
c que é comum a todos os intervalos.
                
Até agora não percebi por que é que os intervalos
devem ser fechados. Já li várias vezes no livro pequeno de
análiseI do Elon, a demostração deste importante teorema,
mas sinceramente não percebi onde ele usa na demostração
o fato dos intervalos serem obrigatóriamente fechados. Alguém
pode me ajudar a esclarecer esta dúvida?. Muito grato, Carlos A.
Gomes- Natal/RN