Re: Quadrado

[ponce@xxxxxxxxxx (Luiz Ponce )]

Olá Portilho,
Considerando o enunciado:
ABCD é um quadrado de lado 1.Prolonga-se o lado DC até o ponto E, no sentido de
D
para C, de modo que CE = x,  . Sendo  F  a  intersecção do segmento AE com o
lado BC
e  FE = 1.Determine x.

Uma solução possível é
Seja  a  a medida do ângulo DEA.
Dos triângulos   AED e FEC,   obtem-se respectivamente:   tg a = 1 / ( 1+ x)
e  sec a = 1 / x
Substituindo estes valores na identidade trigonométrica:  (tg a)^2  +  1  =
(sec a)^2, obtém-se
(1 /(1+x) )^2  +  1 = (1 / x)^2.
(Este resultado ou equivalente, pode ser obtido por semelhança de triângulos)
Desenvolvendo, simplificando e agrupando de modo conveniente, obtém-se  desta
igualdade:
 x^4  +  2. (x^3)  +    x ^2   -   2.x  - 1 = 0
Por outro lado, podemos daqui escrever sucessivamente equações equivalentes a
esta:
x^4  +  2. (x^3)  +    x ^2                      =      2.x  + 1,
( x^2 + x) ^2                                         =      2.x  + 1,
( x^2 + x) ^2  + [ 2.( x^2 + x ) + 1 ]      =      2.x  + 1 + [ 2.( x^2 + x ) +
1 ],
[(x^2 + x)  + 1]^2                                  =      2 [ x^2 + 2x + 1 ],
[(x^2 + x)  + 1]^2                                  =      2  (x + 1 )^2

Sendo x > 0,  obtem-se daqui,   a seguinte equação do segundo grau equivalente:

x^2 + x  + 1                                            =    RQ( 2). [ x + 1 ]

ou ainda,  x^2 - [ RQ(2) - 1].x - [ RQ(2) - 1] = 0, onde RQ( t ) é a raiz
quadrada de t.(t>=0)
Lembrando que x>0, obtém-se desta equação o valor de x, dado por:

x  = [ RQ( 2) + RQ ( 2.RQ(2) - 1) - 1 ] / 2.

Estou enviando para você e para quem queira também, a solução acima com notação

melhor, e contendo  figura, em attach.
Qualquer duvida, sinta-se  livre para contactar-me.
Um abraço
PONCE



Divaldo Portilho Fernandes Júnior wrote:

>   Galera aqui vai um probleminha que eu achei legal:
>   "Dado um quadrado ABCD de lado 1, onde DC é a base desse quadrado.
> Tomando o prolongamento do lado DC, sendo o prolongamento de comprimento x,
> até o ponto E. Agora tome o segmento que liga o ponto A ao E, considere F o
> ponto de intercessão do segmento AE com o segmento BC. Sabendo-se que FE é
> igual à 1 qual o valor de x?"
>
>     Portilho
>
>
>
>