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Re: Quadrado
Ol� Portilho,
Considerando o enunciado:
ABCD � um quadrado de lado 1.Prolonga-se o lado DC at� o ponto E, no sentido de
D
para C, de modo que CE = x, . Sendo F a intersec��o do segmento AE com o
lado BC
e FE = 1.Determine x.
Uma solu��o poss�vel �
Seja a a medida do �ngulo DEA.
Dos tri�ngulos AED e FEC, obtem-se respectivamente: tg a = 1 / ( 1+ x)
e sec a = 1 / x
Substituindo estes valores na identidade trigonom�trica: (tg a)^2 + 1 =
(sec a)^2, obt�m-se
(1 /(1+x) )^2 + 1 = (1 / x)^2.
(Este resultado ou equivalente, pode ser obtido por semelhan�a de tri�ngulos)
Desenvolvendo, simplificando e agrupando de modo conveniente, obt�m-se desta
igualdade:
x^4 + 2. (x^3) + x ^2 - 2.x - 1 = 0
Por outro lado, podemos daqui escrever sucessivamente equa��es equivalentes a
esta:
x^4 + 2. (x^3) + x ^2 = 2.x + 1,
( x^2 + x) ^2 = 2.x + 1,
( x^2 + x) ^2 + [ 2.( x^2 + x ) + 1 ] = 2.x + 1 + [ 2.( x^2 + x ) +
1 ],
[(x^2 + x) + 1]^2 = 2 [ x^2 + 2x + 1 ],
[(x^2 + x) + 1]^2 = 2 (x + 1 )^2
Sendo x > 0, obtem-se daqui, a seguinte equa��o do segundo grau equivalente:
x^2 + x + 1 = RQ( 2). [ x + 1 ]
ou ainda, x^2 - [ RQ(2) - 1].x - [ RQ(2) - 1] = 0, onde RQ( t ) � a raiz
quadrada de t.(t>=0)
Lembrando que x>0, obt�m-se desta equa��o o valor de x, dado por:
x = [ RQ( 2) + RQ ( 2.RQ(2) - 1) - 1 ] / 2.
Estou enviando para voc� e para quem queira tamb�m, a solu��o acima com nota��o
melhor, e contendo figura, em attach.
Qualquer duvida, sinta-se livre para contactar-me.
Um abra�o
PONCE
Divaldo Portilho Fernandes J�nior wrote:
> Galera aqui vai um probleminha que eu achei legal:
> "Dado um quadrado ABCD de lado 1, onde DC � a base desse quadrado.
> Tomando o prolongamento do lado DC, sendo o prolongamento de comprimento x,
> at� o ponto E. Agora tome o segmento que liga o ponto A ao E, considere F o
> ponto de intercess�o do segmento AE com o segmento BC. Sabendo-se que FE �
> igual � 1 qual o valor de x?"
>
> Portilho
>
>
>
>
- References:
- Quadrado
- From: Divaldo Portilho Fernandes J�nior