Re: Quadrado

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

A equacao de quarto grau que o Luiz Ponce fatorou eh 
x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0, que pode ser escrita da forma
ax^4 + bx^3 + cx^2 - bx - a = 0, observem que os coeficientes equidistantes sao simetricos, isso, se nao me engano, faz da equacao uma equacao reciproca, e quando  a  for raiz dessa equacao 1/a tambem sera raiz dela. Com artificios bem simples, do tipo:
- Dividimos a equacao ax^4 + bx^3 + cx^2 - bx - a = 0 por cx^2, dai resulta:
ax^2/c + bx/c + 1 - b/cx - a/cx^2 = 0

- Percebam que os termos equidistantes agora so variam por causa do x e do 1/x, e do sinal negativo. Entao utilizamos o articifiico:
(x + 1/x)^2 - 1 = x^2 + 1/x^2, e multiplicamos por a/c, dai fica:
ax^2/c + a/cx^2, o que tinhamos la em cima.

- Para eliminar o bx/c e o -b/cx, utilizamos (x + 1/x) e o multiplicamos por -b/c. Somando tudo teriamos:
(a/c) . [(x + 1/x)^2 - 1] + (b/c) [ x + 1/x ] + 1 = (equacao original).
Entao substituimos x + 1/x por y, e resolvemos a equacao de segundo grau que vai resultar, e depois resolvemos as equacoes x + 1/x = y' , e a x + 1/x = y'', e teremos as quatro raizes da equacao inicial.

Nesse caso ai de cima, eu resolvi a equacao ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx  + a = 0, mas nao resolvi a equacao com -bx e -a. Nao me lembro como se faz para resolver, e nao consegui me lembrar, se alguem souber, mande a maneira para a lista.
Para quem se interessar por ITA, eles exigem conhecimentos de equacoes reciprocas.

duda

----- Original Message ----- 
From: Luiz Ponce <ponce@lbm.com.br>
To: <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, July 21, 1999 7:39 PM
Subject: Re: Quadrado



Olá Portilho,
Considerando o enunciado:
ABCD é um quadrado de lado 1.Prolonga-se o lado DC até o ponto E, no sentido de
D
para C, de modo que CE = x,  . Sendo  F  a  intersecção do segmento AE com o
lado BC
e  FE = 1.Determine x.

Uma solução possível é
Seja  a  a medida do ângulo DEA.
Dos triângulos   AED e FEC,   obtem-se respectivamente:   tg a = 1 / ( 1+ x)
e  sec a = 1 / x
Substituindo estes valores na identidade trigonométrica:  (tg a)^2  +  1  =
(sec a)^2, obtém-se
(1 /(1+x) )^2  +  1 = (1 / x)^2.
(Este resultado ou equivalente, pode ser obtido por semelhança de triângulos)
Desenvolvendo, simplificando e agrupando de modo conveniente, obtém-se  desta
igualdade:
 x^4  +  2. (x^3)  +    x ^2   -   2.x  - 1 = 0
Por outro lado, podemos daqui escrever sucessivamente equações equivalentes a
esta:
x^4  +  2. (x^3)  +    x ^2                      =      2.x  + 1,
( x^2 + x) ^2                                         =      2.x  + 1,
( x^2 + x) ^2  + [ 2.( x^2 + x ) + 1 ]      =      2.x  + 1 + [ 2.( x^2 + x ) +
1 ],
[(x^2 + x)  + 1]^2                                  =      2 [ x^2 + 2x + 1 ],
[(x^2 + x)  + 1]^2                                  =      2  (x + 1 )^2

Sendo x > 0,  obtem-se daqui,   a seguinte equação do segundo grau equivalente:

x^2 + x  + 1                                            =    RQ( 2). [ x + 1 ]

ou ainda,  x^2 - [ RQ(2) - 1].x - [ RQ(2) - 1] = 0, onde RQ( t ) é a raiz
quadrada de t.(t>=0)
Lembrando que x>0, obtém-se desta equação o valor de x, dado por:

x  = [ RQ( 2) + RQ ( 2.RQ(2) - 1) - 1 ] / 2.

Estou enviando para você e para quem queira também, a solução acima com notação

melhor, e contendo  figura, em attach.
Qualquer duvida, sinta-se  livre para contactar-me.
Um abraço
PONCE



Divaldo Portilho Fernandes Júnior wrote:

>   Galera aqui vai um probleminha que eu achei legal:
>   "Dado um quadrado ABCD de lado 1, onde DC é a base desse quadrado.
> Tomando o prolongamento do lado DC, sendo o prolongamento de comprimento x,
> até o ponto E. Agora tome o segmento que liga o ponto A ao E, considere F o
> ponto de intercessão do segmento AE com o segmento BC. Sabendo-se que FE é
> igual à 1 qual o valor de x?"
>
>     Portilho
>
>
>
>