Re: [obm-l] lim \sqrt[n]{a^n}

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

Abrindo o binomio de Newton:

 

(n+1)^n = n^n + C(n,1).n^(n-1) + C(n,2).n*(n-2) + ... C(n,n-2)n^2 +C(n,1).n + 1 <

< n^n + n^n + n^n +... +n^n + (n^2 + 1) < n.(n^n) = n^(n+1)

 

(Estou usando aqui que C(n,k)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k! <= n.n.n.n...n/1=n^k; tambem usei no fim que n^2+1<n^n, o que vale para n>=3)

 

Entao a raiz n+1-esima de n+1 eh menor que a raiz n-esima de n (para n>=3). Assim, a sequencia n^(1/n) eh decrescente a partir de n=3.

 

Por outro lado, n>1 implica n^(1/n)>1^(1/n)=1. Isto eh, a sequencia eh limitada inferiormente por 1.

Conclusao: a sequencia eh decrescente a partir de n=3 e limitada (por baixo por 1, por cima por max(2^(1/2),3^(1/3))=3^(1/3)).

2008/5/26 Adenilton Silva <adenilton.silva@xxxxxxxxx>:

Ops! cometi um pequeno erro na minha pergunta, na verdade tratava-se
de   \sqrt[n]{n} e queria mostrar que a sequencia com esse termo é
monotona e limitada.

Desculpem pelo engano e se algum puder ajudar aguardo resposta

Adenilton

2008/5/24 Arlane Manoel S Silva <arlan@xxxxxx>:
>  Olha só:
>                    |a|, se n par;
>   \sqrt[n]{a^n}=
>                     a , se ímpar.
>
>  Tem alguma hipótese sobre a?
>
> Citando Adenilton Silva <adenilton.silva@xxxxxxxxx>:
>
>> Olá pessoal,
>>
>> Sou meu nome é Adenilton e sou estudante de Lic. da UFRPE.
>>
>> Estou estudando análise e estou com dificuldade em um exemplo, que trata
>> sobre o lim \sqrt[n]{a^n}. Não consegui mostrar que a sequencia formada é
>> monótona para n >> 1, na verdade n>3.
>>
>> Caso alguem possa dar uma dica ficaria grato.
>>
>> Adenilton.
>>
>
>
>
> --
>      Arlane Manoel S Silva
>    Departamento de Matemática
> Instituto de Matemática e Estatística-USP
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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