Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Joao !

Tranquilo. Fique a vontade : o meu interesse e que aqui nesta lista
seja praticado Matematica de Qualidade. Assim, um bom exemplo e fazer
as questoes do Projeto Euclides, IMPA. Se achar valido, apenas cite
que trata-se de solucao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE
PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA da PUC-RIO.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
6,0911,040408

2008/4/4 João Luís <joaoluisbh@xxxxxxxxxx>:
>
>  Paulo,
>
>  Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que
> acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
>
>  Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um
> arquivo Latex com elas. Voce permite?
>
>  Um abraco,
>
>  Joao Luis
>
>  ----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita"
> <paulo.santarita@xxxxxxxxx>
>  To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
>  Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
>  Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
>
>
>
>
>  Oi Claudio !
>
>  Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
>  : as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
>  solucoes e que estou apenas "enchendo o saco" dos membros da lista.
>  Quando algumas pessoas, como  voce fez, se manifesta, nos vemos que o
>  nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
>
>  A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
>  PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
>  sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
>  FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
>  estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
>  similares.
>
>  Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
>  solucao do problema 4.12
>
>  ( EXERCICIO 4.12 )
>
>  Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
>
>  Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
>
>  Seja r um numero real,  0 < r < 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 < b < a.
>  Ao real F = a - b > 0 correspondera um N0 tal que n > N0 implica | Xn
>  – a | < F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n > N0, a – F < Xn,
>  vale dizer, n> N0 => b < Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
>  reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS "i" e K ( n >
>  N0 ) :
>
>  0 < b^(i/K) < (Xn)^(i/K)  =>   0 < (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) < (
>  (Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
>
>  Logo : 0 < Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  <
>  Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )]   =>
>  0 < | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  |  <  |
>  Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  |
>
>  Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  | e multiplicando
>  tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
>
>  ( DESIGUALDADE 1 )
>  |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c < | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
>  Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
>
>  Dado um E > 0
>
>  ( DESIGUALDADE 2 ) :
>  Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n > N1 => | Xn-a| < c*E
>
>  Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n > N2 as
>  duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
>  desigualdades chegamos a :
>
>  n > N2 => |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| < E
>
>  Assim, para um E > 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
>  que n > N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| < E. Isto estabelece que
>  LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
>
>  ***
>
>  Seja LIM Xn=a  e  r=P/Q. Já sabemos que  LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
>  LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
>  colchetes há P fatores. Logo :
>  LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
>  LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
>
>  O caso P/Q < 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de "-"
>
>  OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
>  enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o "Tio Cabri".
>  Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
>  tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
>  disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
>  aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
>  colegas.
>
>  Um Abracao a Todos
>  Paulo Santa Rita
>  6,0630,040408
>
>
>
>  2008/4/3 Claudio Gustavo <claudioggll@xxxxxxxxxxxx>:
>
> >  Oi Paulo.
> >  Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois
> > essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
> >
> >  Abraços,
> > Claudio Gustavo.
> >
> > Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx> escreveu:
> >
> > Ola Pessoal,
> >
> > Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
> > excelente Livro :
> >
> > Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
> > 11 edicao - 2 impressao
> > Autor : Elon Lages Lima
> >
> > Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
> > assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
> > principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
> > Entretanto, algumas pessoas me escreveram "em off" e pediram que eu
> > publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
> > exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
> > achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
> >
> >
> >
> >
> > NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por
> > "m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
> > respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<"
> > representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo
> > de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a
> > letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal
> > que"
> >
> >
> >
> > ( EXERCICIO 1.14)
> >
> > NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o
> > conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
> > ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
> > f(-1)(b)
> >
> > ITEM A :
> >
> > Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) => a
> > E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a))
> > => a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto
> > estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como
> > queriamos demonstrar.
> >
> > ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
> > para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e
> > evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6
> > } tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
> > f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
> >
> > ITEM B :
> >
> > No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer
> > entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e
> > injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso
> > por reducao ao absurdo.
> >
> > Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
> > caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X,
> > vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X.
> > Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e
> > "c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO
> > !
> >
> > Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA.
> > Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
> > não, segue que :
> >
> > f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X
> > IMPLICACAO 1
> >
> > Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
> > )=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e
> > injetiva.
> >
> > Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
> > que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
> > que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
> >
> > f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2
> >
> > As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente
> > se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar.
> > ( EXERCICIO 1.18 )
> >
> > ITEM A :
> >
> > Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a
> > propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que
> > seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
> >
> > INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
> >
> > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que
> > seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
> > sucessivamente :
> >
> > f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que
> > seja o "m" =>
> > UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) =>
> > f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=>
> >
> > INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2
> >
> > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
> > queriamos demonstrar.
> >
> >
> > ***
> >
> >
> > ITEM B :
> >
> > Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da
> > propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o
> > "m". Portanto :
> >
> > UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1
> >
> > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que
> > seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
> > vem :
> >
> > f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" =>
> > INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) =>
> > f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=>
> >
> > UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2
> >
> > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
> > queriamos demonstrar.
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > ( EXERCICIO 1.21 )
> >
> >
> > Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
> > -> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma
> > funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
> > e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E
> > B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.
> >
> > Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para
> > todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida
> > por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por :
> >
> > f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b)
> >
> > Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G :
> >
> > 1) e INJETIVA
> >
> > Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e
> > f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e
> > f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que :
> >
> > f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) =>
> > G(f1) # G(f2)
> > Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2)
> >
> >
> > 2) e SOBREJETIVA
> >
> > Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos f_a : B -> C pondo
> > f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que
> > f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela
> > aplicacao G já definida.
> >
> > Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma
> > bijecao.
> >
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> > Um Abraco a Todos
> > Paulo Santa Rita
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