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Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4


Paulo,
Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um arquivo Latex com elas. Voce permite? 

Um abraco,

Joao Luis
----- Original Message ----- From: "Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx> 
To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4


Oi Claudio !

Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas "enchendo o saco" dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como  voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.

A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.

Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12

( EXERCICIO 4.12 )

Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :

Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)

Seja r um numero real,  0 < r < 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 < b < a.
Ao real F = a - b > 0 correspondera um N0 tal que n > N0 implica | Xn
– a | < F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n > N0, a – F < Xn,
vale dizer, n> N0 => b < Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS "i" e K ( n >
N0 ) :

0 < b^(i/K) < (Xn)^(i/K)  =>   0 < (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) < (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )

Logo : 0 < Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  <
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )]   =>
0 < | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  |  <  |
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  |

Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]  | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :

( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c < | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|

Dado um E > 0

( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n > N1 => | Xn-a| < c*E

Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n > N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :

n > N2 => |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| < E

Assim, para um E > 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n > N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| < E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.

***

Seja LIM Xn=a  e  r=P/Q. Já sabemos que  LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)

O caso P/Q < 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de "-"

OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o "Tio Cabri".
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.

Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408



2008/4/3 Claudio Gustavo <claudioggll@xxxxxxxxxxxx>:

  Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois 
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.

  Abraços,
Claudio Gustavo.

Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx> escreveu:

Ola Pessoal,

Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :

Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima

Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram "em off" e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :




NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por
"m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<"
representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo
de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a
letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal
que"



( EXERCICIO 1.14)

NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)

ITEM A :

Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) => a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a))
=> a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como
queriamos demonstrar.

ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X

ITEM B :

No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer
entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.

Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X.
Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e
"c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO
!

Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA.
Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :

f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1

Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e
injetiva.

Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :

f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2

As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )

ITEM A :

Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que
seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :

INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1

Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que
seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :

f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o "m" =>
UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) =>
f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=>

INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2

As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.


***


ITEM B :

Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o
"m". Portanto :

UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1

Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que
seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :

f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" =>
INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) =>
f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=>

UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2

As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
queriamos demonstrar.








( EXERCICIO 1.21 )


Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
-> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma
funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E
B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.

Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para
todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida
por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por :

f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b)

Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G :

1) e INJETIVA

Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e
f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e
f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que :

f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) =>
G(f1) # G(f2)
Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2)


2) e SOBREJETIVA

Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos f_a : B -> C pondo
f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que
f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela
aplicacao G já definida.

Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma
bijecao.



Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,0E06,030408

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