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[SPAM] Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
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Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx> escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram "em off" e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por
"m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<"
representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo
de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a
letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal
que"
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) => a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a))
=> a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer
entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X.
Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e
"c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA.
Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :
f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1
Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e
injetiva.
Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2
As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )
ITEM A :
Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que
seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que
seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :
f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o "m" =>
UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) =>
f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=>
INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.
***
ITEM B :
Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o
"m". Portanto :
UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que
seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :
f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" =>
INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) =>
f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=>
UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.21 )
Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
-> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma
funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E
B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.
Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para
todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida
por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por :
f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b)
Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G :
1) e INJETIVA
Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e
f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e
f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que :
f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) =>
G(f1) # G(f2)
Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2)
2) e SOBREJETIVA
Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos f_a : B -> C pondo
f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que
f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela
aplicacao G já definida.
Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma bijecao.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,0E06,030408
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3<BR>exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que<BR>achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :<BR><BR><BR><BR><BR>NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por<BR>"m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados<BR>respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<"<BR>representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo<BR>de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a<BR>letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal<BR>que"<BR><BR><BR><BR>( EXERCICIO 1.14)<BR><BR>NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o<BR>conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y<BR>ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por<BR>f(-1)(b)<BR><BR>ITEM A :<BR><BR>Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) =>
a<BR>E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a))<BR>=> a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto<BR>estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como<BR>queriamos demonstrar.<BR><BR>ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se<BR>para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e<BR>evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6<BR>} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que<BR>f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X<BR><BR>ITEM B :<BR><BR>No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer<BR>entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e<BR>injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso<BR>por reducao ao absurdo.<BR><BR>Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests<BR>caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) )
tal que "a" NAO PERTENCE a X,<BR>vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X.<BR>Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e<BR>"c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO<BR>!<BR><BR>Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA.<BR>Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou<BR>não, segue que :<BR><BR>f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X<BR>IMPLICACAO 1<BR><BR>Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)<BR>)=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e<BR>injetiva.<BR><BR>Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais<BR>que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e<BR>que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :<BR><BR>f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2<BR><BR>As
IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente<BR>se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar.<BR>( EXERCICIO 1.18 )<BR><BR>ITEM A :<BR><BR>Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a<BR>propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que<BR>seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :<BR><BR>INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1<BR><BR>Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que<BR>seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,<BR>sucessivamente :<BR><BR>f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que<BR>seja o "m" =><BR>UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) =><BR>f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=><BR><BR>INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2<BR><BR>As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm),
como<BR>queriamos demonstrar.<BR><BR><BR>***<BR><BR><BR>ITEM B :<BR><BR>Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da<BR>propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o<BR>"m". Portanto :<BR><BR>UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1<BR><BR>Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que<BR>seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,<BR>vem :<BR><BR>f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" =><BR>INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) =><BR>f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=><BR><BR>UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2<BR><BR>As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como<BR>queriamos demonstrar.<BR><BR><BR><BR><BR><BR><BR><BR><BR>( EXERCICIO 1.21 )<BR><BR><BR>Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A<BR>-> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A,
existe uma<BR>funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a<BR>e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E<BR>B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.<BR><BR>Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para<BR>todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida<BR>por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por :<BR><BR>f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b)<BR><BR>Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G :<BR><BR>1) e INJETIVA<BR><BR>Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e<BR>f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e<BR>f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que :<BR><BR>f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) =><BR>G(f1) # G(f2)<BR>Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2)<BR><BR><BR>2) e SOBREJETIVA<BR><BR>Dado f* E F(AxB;C). Para cada
"a" E A definimos f_a : B -> C pondo<BR>f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que<BR>f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela<BR>aplicacao G já definida.<BR><BR>Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma bijecao.<BR><BR><BR><BR>Um Abraco a Todos<BR>Paulo Santa Rita<BR>5,0E06,030408<BR><BR>=========================================================================<BR>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR>http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<BR>=========================================================================<BR></BLOCKQUOTE><BR><p> 
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