[obm-l] Exercicios de Analise 4

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :

Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima

Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao.  Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas  me escreveram "em off" e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :




NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por
"m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<"
representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo
de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a
letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal
que"



( EXERCICIO 1.14)

NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)

ITEM A :

Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a)  =>  a E f(-1)(b)  => a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a))
=> a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como
queriamos demonstrar.

ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X

ITEM B :

No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer
entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e
injetiva, mostraremos que vale tambem  f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.

Com efeito, suponhamos que  f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um "a" E  f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X.
Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e
"c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b  => f  nao e injetiva ... ABSURDO
!

Portanto, f:A-> B injetiva =>  f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA.
Como  f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :

f:A-> B injetiva =>  f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1

Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e
injetiva.

Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X  ... ABSURDO ! Logo :

f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A  => f:A->B injetiva     IMPLICACAO 2

As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )

ITEM A :

Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que
seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :

 INTER f(Xm) > f(UNI Xm ).      INCLUSAO 1

Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que
seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :

f( f(Xm) ) <  f( INTER f(Xm))  =>  Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o "m"  =>
UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) =>
f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm)  <=>

INTER f(Xm) < f(UNI Xm)         INCLUSAO 2

As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que   f(UNI Xm)  = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.


***


ITEM B :

Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o
"m". Portanto :

UNI f(Xm) < f( INTER Xm)       INCLUSAO 1

Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que
seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :

f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm))  => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m"  =>
INTER Xm > f(UNI f(Xm))  => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm)))  =>
f( INTER Xm ) < UNI f(Xm)  <=>

UNI f(Xm) > f( INTER Xm)      INCLUSAO 2

As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
queriamos demonstrar.








( EXERCICIO 1.21 )


Dada uma funcao f  E  F(A;F(B;C)) qualquer.  Entao f e uma funcao f:A
-> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma
funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a  E  F(B;C) entao f_a
e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E
B  a  imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.

Assim, dado f  E  F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para
todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida
por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por :

f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b)

Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G :

1) e INJETIVA

Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 #  f2 e sejam f*1=G(f1) e
f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e
f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que :

f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b)   => f*1(a,b) # f*2(a,b) =>
G(f1) # G(f2)
Assim : f1 # f2  =>  G(f1) # G(f2)


2) e SOBREJETIVA

Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos  f_a : B -> C pondo
f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que
f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela
aplicacao G já definida.

Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma bijecao.



Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,0E06,030408

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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